Na pracowni studenckiej zmierzono charakterystykę prądowo-napięciową diody LED świecącej na czerwono (\(625\,\mathrm{nm}\)). Wyniki przedstawiono w tabeli poniżej. Na podstawie tej charakterystyki wyznacz stałą Plancka. Niepewności standardowe wynosiły: \(u(U)=0,002\,\mathrm{V}\) oraz \(u(I)=0,0001\,\mathrm{A}\).
Wskazówka teoretyczna
Teoria - diody LED
Działanie diody elektroluminescencyjnej (LED) opiera się na zjawisku rekombinacji nośników ładunku. Zjawisko to zachodzi w półprzewodnikach wówczas, gdy elektrony, przechodząc z wyższego poziomu energetycznego na niższy. Długość fali generowanego promieniowania zależy od różnicy energii poziomów, między którymi zachodzi rekombinacja. Natężenie promieniowania diody zależy od wartości prądu przewodzenia. Już przy prądzie kilku mA widoczne jest świecenie, a znamionowe 20 mA prądu zasilania daje świecenie wyraźne. Charakterystyka prądowo-napięciowa diody elektroluminescencyjnej ma kształt charakterystyki złącza p-n. Jednakże napięcia przebicia tych diod są niewielkie (kilka woltów), a spadki napięcia w kierunku przewodzenia (gdy dioda świeci) zależą od zastosowanego materiału półprzewodnikowego i mieszczą się w granicach 1,3- 5 V.
Charakterystyki dla wybranych diod LED.
U[V]
1,733
1,763
1,800
1,843
1,875
1,901
1,924
1,944
1,949
1,953
1,958
I[A]
0,0005
0,0010
0,0020
0,0040
0,0060
0,0080
0,0100
0,0120
0,0130
0,0135
0,0140
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane: - wyniki pomiarów (tabela powyżej), - długość fali maksimum widma \(\lambda=625\,\mathrm{nm}\), - elementarny ładunek elektryczny \(e = 1,602\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}\), - prędkość światła w próżni \(\displaystyle{c=299 792 458 \,\mathrm{\frac{m}{s}}}\), - stała Plancka \(6,626\cdot 10^{-34}\,\mathrm{Js}\).
Szukane: - stała Plancka \(h\).
Metoda postępowania
Wyznaczenie stałej Plancka na bazie danych pomiarowych, wymaga realizacji kilku kroków postępowania. Oto one.
Wykonanie regresji liniowej części charakterystyki i dopasowanie funkcji liniowej \(y=ax+b\) do prostoliniowej części charakterystyki w kierunku przewodzenia (górna część charakterystyki).
Wybrane informacje uszczegółowione: Podczas rekombinacji promienistej w diodzie elektroluminescencyjnej, promieniowanie emitowane jest w postaci kwantów fali elektromagnetycznej (światła), zwanych fotonami. Energia pojedynczego fotonu jest postaci \[\displaystyle{E=hf=h\frac{c}{\lambda} }\] gdzie \(E\) odpowiada energii przerwy energetycznej półprzewodnika, \(\lambda\) – długość fali, \(h\) – stała Plancka, \(f\)– częstotliwość fali, \(c\) – prędkość światła.
W diodach elektroluminescencyjnych oba obszary (typu n oraz typu p) są silnie domieszkowane, co oznacza, że poziom Fermiego znajduje się bardzo blisko pasma przewodnictwa (typ n) oraz pasma walencyjnego (typ p). Możemy wówczas dokonać przybliżenia \[\displaystyle{eU_b=h\frac{c}{\lambda} }\] gdzie \(U_b\) – napięcie odpowiadające barierze potencjału (odczytane przy pomocy charakterystyki prądowo-napięciowej), \(e\) - elementarny ładunek elektryczny, \(c\) - prędkość światła w próżni.
Stałą Plancka można wyznaczyć z zależności \[\displaystyle{h=\frac{e}{c} \lambda U_b}\] Wartość \(U_b\) obliczamy z równania prostej liniowego kawałka charakterystyki: \(\displaystyle{U_b=\frac{-b}{a} }\) (\(a\) i \(b\) otrzymujemy na podstawie równania prostej \(y=ax+ b\)). Na poniższym rysunku przedstawiono sposób aproksymacji części liniowej charakterystyki diody LED. Linią przerywaną zaznaczono linię dla trzech wybranych diod LED. Aproksymację można wykonać w arkuszu kalkulacyjnym dodają linię trendu i zaznaczając w opcjach wyświetlenie równania otrzymanej prostej.
Rozwiązanie
1. Wykres - charakterystyka prądowo-napięciowa diody LED z zaznaczonymi słupkami niepewności standardowych.
Do aproksymacji wykorzystano cztery ostatnie punkty pomiarowe. Otrzymane równanie ma postać \(y=0,1415x-0,263\), czyli \[\displaystyle{U_b=\frac{-b}{a}=\frac{0,263}{0,1415} }\] Stałą Plancka wynosi \[\displaystyle{h=\frac{e}{c} \lambda U_b}=\frac{1,60218\cdot 10^{-19}}{299 792 458}\cdot 625\cdot 10^{-9}\cdot\frac{0,263}{0,1415}\] \[h=6,208\cdot 10^{-34}\,\mathrm{Js}\] Wartość tej stałej podawanej w tablicach wynosi \(6,626\cdot 10^{-34}\,\mathrm{Js}\).
Odpowiedź
Wartość eksperymentalnie wyznaczonej stałej Plancka to \(h=6,208\cdot 10^{-34}\,\mathrm{Js}\).
