Analiza sytuacji

Jeżeli do naładowanego kondensatora dołączymy opornik, zamkniemy obwód i rozpocznie się rozładowywanie kondensatora.

Zgodnie z II prawem Kirchhoffa mamy:
$$\displaystyle{\frac{Q}{C}+IR=0 }$$
$$\displaystyle{\frac{Q}{C}+\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}R=0 }$$
Otrzymujemy równanie różniczkowe postaci
$$\displaystyle{\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}=-\frac{Q}{RC} }$$
Po rozdzielaniu zmiennych możemy równanie obustronnie scałkować
$$\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d} Q}{Q}=-\frac{1}{RC}\int \mathrm{d} t }$$
 Wzory całkowe   $$\displaystyle{\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d} x= \ln \left | x \right |+C}$$ $$\int \mathrm{d} x=x+C$$  
Po całkowaniu otrzymujemy (przyjmujemy, że ładunek $Q>0$
$$\displaystyle{\ln Q=-\frac{1}{RC}\cdot t+stała }$$
Stałą "stała" wyznaczymy w warunków początkowych, czyli dla $t=0$ ładunek wynosił $Q_0$
$$\displaystyle{\ln Q_0=-\frac{1}{RC}\cdot 0+stała }$$
$$stała = \ln Q_0$$
Otrzymujemy równanie: $\displaystyle{\ln Q=-\frac{1}{RC}\cdot t+\ln Q_0 }$
Po skorzystaniu z definicji logarytmu, otrzymujemy:
$$\displaystyle{Q=\exp\left ( -\frac{t}{RC} +\ln Q_0\right )= \exp\left ( -\frac{t}{RC}\right )\exp\left (\ln Q_0\right ) }$$
$$\displaystyle{Q=Q_0\exp\left ( -\frac{t}{RC}\right )}$$

Rozwiązanie

Do równania $\displaystyle{Q=Q_0\exp\left ( -\frac{t}{RC}\right )}$ podstawiamy dane z treści zadania, czyli $Q=0,5\cdot Q_0$ - rozładowanie do połowy oznacza, że na okładkach ładunek zmaleje dwukrotnie.
$$\displaystyle{\frac{Q_0}{2}=Q_0\exp\left ( -\frac{t}{RC}\right )}$$
Mnożąc obustronnie równie przez $Q_0$ oraz logarytmując, mamy
$$\displaystyle{\ln\frac{1}{2}= -\frac{1}{RC}\cdot t }$$
Czas rozładowania do połowy obliczymy z zależności
$$t=RC\cdot (-1)\cdot \ln \frac{1}{2}=RC\cdot \ln 2$$
$$t=2\cdot 10^6\cdot 0,02\cdot 10^{-6}\cdot \ln 2\approx0,028\,\mathrm{s}$$