Zadanie 7.4.2.5

Rzeczywisty kondensator

Na rysunku przedstawiono schematy zastępcze rzeczywistego kondensatora szeregowy i równoległy. Mając dane

$C_2=100\,\mathrm{nF}$ i

$R_2=2,5\,\mathrm{k\Omega}$ wyznacz

$R_1$ oraz

$C_1$ , dla których oba schematy są równoważne. Narysuj wykresy wskazowe dla tych układów. Napięci na zaciskach jest sinusoidalne, a jego faza początkowa jest równa zeru. Częstotliwość wynosi

$f=500\,\mathrm{Hz}$ .

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- pojemność kondensatora $C_2=100\,\mathrm{nF}$ ,
- rezystancja $R_2=2,5\,\mathrm{k\Omega}$ ,
- częstotliwość $f=500\,\mathrm{Hz}$ .

Szukane:
- pojemność kondensatora $C_1$ ,
- rezystancja $R_1$ .

Odpowiedź

Szukana rezystancja i pojemność wynoszą $R_1=1546\,\mathrm{\Omega}$ oraz $C_1=262\,\mathrm{nF}$ . Wykresy wskazowe dla układu pierwszego i drugiego:

Polecenie

Oblicz rezystancję rezystora $R_1$ oraz pojemność kondensatora $C_1$ Wybierz jeden prawidłowy zestaw wartość z dwóch możliwych.

Wybór 1 z 2

$R_1=1546\,\mathrm{\Omega}$

$C_1=262\,\mathrm{nF}$

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

$R_1=154,7\,\mathrm{\Omega}$

$C_1=2,62\,\mathrm{nF}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Impedancje zastępcze dla układów wynoszą

$\displaystyle{\overset{Z}{\_}_1=R_1-j\,\frac{1}{\omega C_1} }$

$\displaystyle{\overset{Y}{\_}_2=G_2+j\omega C_2}$ i stąd

$\displaystyle{\overset{Z}{\_}_2=\frac{ 1 }{G_2+j\omega C_2} }$ gdzie

$\displaystyle{G_2=\frac{1}{R_2} }$

Dla określonej częstotliwości obydwa układy są równoważne, gdy równe są ich impedancje (admitancje) zespolone. Należy teraz zapisać tak impedancje zastępcze, aby można było porównać części rzeczywiste i części urojone.

$\displaystyle{\overset{Z}{\_}_2=\frac{G_2-j\omega C_2}{G_2^2+\omega^2C_2^2}=\frac{G_2}{G_2^2+\omega^2C_2^2}-j\,\frac{\omega C_2}{G_2^2+\omega^2C_2^2} }$

$\displaystyle{R_1=\frac{G_2}{G_2^2+\omega^2C_2^2}=1546\,\mathrm{\Omega} }$

$\displaystyle{\frac{1}{\omega C_1}=\frac{\omega C_2}{G_2^2+\omega^2C_2^2} }$ i stąd

$\displaystyle{C_1=\frac{ G_2^2+\omega^2C_2^2}{\omega^2 C_2}=262\,\mathrm{nF}}$

Polecenie

Narysuj wykres wskazowy dla układu z elementami $R_1$ i $C_1$ . Wybierz jeden prawidłowy wykres z dwóch możliwych.

Wybór 1 z 2

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Jeżeli do zacisków dwójnika przyłożymy napięcie, to w obwodzie popłynie prąd, który spowoduje powstanie napięć na elementach układu. Z II prawa Kirchhoffa mamy

$\displaystyle{\overset{U}{\_}=\overset{U}{\_}_{R1}+\overset{U}{\_}_{C1}=\left ( R_1-j\,\frac{1}{\omega C_1} \right )\overset{I}{\_}=\overset{Z}{\_}_1\cdot \overset{I}{\_} }$ .

Napięcie na kondensatorze opóźnia się w fazie względem prąd o kąt

$\varphi$ , którego tangens obliczymy jako argument impedancji układu

$\displaystyle{\operatorname{tg}{\varphi}=-\frac{\frac{1}{\omega C_1}}{R_1}=-\frac{1}{\omega C_1R_1}=-0,78585 }$

$\displaystyle{\varphi=\operatorname{arctg}{(-0,78585)} =-0,6661\,\mathrm{rad} }$

Wektor reprezentujący napięcie na induktorze jest prostopadły do wektora reprezentującego prąd i skierowany w dół. Kąt

$\varphi$ jest ujemny. Jest to kąt nachylenia wektora reprezentującego napięcie

$U$ .

Polecenie

Narysuj wykres wskazowy dla układu z elementami $R_2$ i $C_2$ . Wybierz jeden prawidłowy wykres z dwóch możliwych.

Wybór 1 z 2

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Z I prawa Kirchhoffa mamy

$\displaystyle{\overset{I}{\_}=\overset{I}{\_}_{R2}+\overset{I}{\_}_{C2}=\left ( G_2-j\frac{1}{\omega C_2} \right )\overset{U}{\_}=\overset{Y}{\_}_2\cdot \overset{U}{\_} }$ .

Prąd ten wyprzedza napięcia o kąt fazowy

$\varphi$ , którego tangens obliczamy jako argument admitancji

$\displaystyle{\operatorname{tg}{\varphi}=\frac{\omega C_2}{G_2}=0,7854 }$

$\displaystyle{\varphi=\operatorname{arctg}{(0,7854)}=0,6655\,\mathrm{rad} }$

Wektor reprezentujący prąd na kondensatorze jest prostopadły do wektora reprezentującego napięcie i skierowany do góry. Kąt

$\varphi$ jest to kąt nachylenia wektora reprezentującego prąd

$I$ .

Odpowiedź

Szukana rezystancja i indukcyjność wynoszą $R_1=1546\,\mathrm{\Omega}$ oraz $C_1=262\,\mathrm{nF}$ . Wykresy wskazowe dla układu pierwszego i drugiego:

Zadanie 7.4.2.4

7.4.3. Test

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta

Zadanie 7.4.2.5

Informacja

Dane i szukane

Odpowiedź

Polecenie

Rozwiązanie

Polecenie

Rozwiązanie

Polecenie

Rozwiązanie

Odpowiedź