Zadanie 1.2.2.5
Informacja
Możesz zobaczyć odpowiedź, klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.
Dane i szukane
Dane:
- długość wektora \( \left | \vec{a} \right |=10\),
- współrzędne początku wektora \(A=\left [ 1,1,\sqrt{5}\, \right ]\),
- cosinusy kierunkowe \(\displaystyle{cos\,\varphi_{x}=-\frac{2}{5}}\), \(\displaystyle{cos\,\varphi_{y}=-\frac{1}{5}}\)
Szukane:
- współrzędne końca wektora \(\vec{a}\).
Odpowiedź
Współrzędne końca wektora wynoszą: \(B=\left [-3,\,-1,\,-3\sqrt{5} \right ]\) lub \(B=\left [-3,\,-1,\,5\sqrt{5} \right ]\).
Polecenie
Wybierz spośród trzech jedną czynność, którą należy wykonać w pierwszym etapie rozwiązania. Prawidłowa odpowiedź odsłoni kolejny etap rozwiązania.
Długość wektora podana jest w treści zadania.
Jest to końcowy etap rozwiązania.
Polecenie
Wybierz spośród trzech jedną prawidłową wartość cosinusa kierunkowego \(\cos\varphi_{z}\).
Obliczenie cosinusa kierunkowego
Kwadraty cosinusów kierunkowych danego wektora sumują się do jedności:
\(\cos^{2}\varphi_{x}+\cos^{2}\varphi_{y}+\cos^{2}\varphi_{z}=1\)
Wykorzystując tą zależność można obliczyć trzeci cosinus kierunkowy:
\(\displaystyle{(-\frac{2}{5})^{2}+(-\frac{1}{5})^{2}+\cos\varphi_{z}^{2}=1}\)
\(\displaystyle{\cos\varphi_{z}^{2}=1-\frac{4}{25}-\frac{1}{25}}\)
\(\displaystyle{\cos\varphi_{z}^{2}=\frac{20}{25}}\)
\(\displaystyle{\cos\varphi_{z}=\pm \sqrt{\frac{20}{25}}=\pm \frac{2\sqrt{5}}{5}}\)
Obliczenie współrzędnych wektora \(\vec{a}\)
Współrzędne wektora \(\vec{a}\) obliczamy z zależności:
\(a_{x}=\left | \vec{a} \right |\cos\,\varphi_{x}\), \(a_{y}=\left | \vec{a} \right |\cos\,\varphi_{y}\), \(a_{z}=\left | \vec{a} \right |\cos\,\varphi_{z}\)
\(\displaystyle{a_{x}=10\cdot\left( -\frac{{2}}{5}\right )=-4}\)
\(\displaystyle{a_{y}=10\cdot\left( -\frac{{1}}{5}\right )=-2}\)
\(\displaystyle{a_{z}=10\cdot\left( \frac{2\sqrt{5}}{5}\right )}\) lub \(\displaystyle{a_{z}=10\cdot\left( -\frac{2\sqrt{5}}{5}\right )}\)
\(a_{z}=4\sqrt{5}\) lub \(a_{z}=-4\sqrt{5}\)
Współrzędne wektora \(\vec{a}\) wynoszą \(\vec{a}=\left [ -4,\,-2,\,\pm\,4\sqrt{5} \right ]\).
Rozwiązaniem zadania będą dwa wektory o początku w punkcie \(A\), a końcu w punkcie \(B_1\) i \(B_2\).
Polecenie
Wybierz spośród trzech prawidłowe współrzędne punktu \(B\).
\(B=\left [-3,\,-1,\,-3\sqrt{5} \right ]\)
lub
\(B=\left [-3,\,-1,\,5\sqrt{5} \right ]\)
Rozwiązanie
Współrzędne wektora można obliczyć na podstawie dwóch punktów \(A\) i \(B\) – końca i początku wektora.
\(\vec{AB}=\left [ x_{B}-x_{A},\,y_{B}-y_{A},\,z_{B}-z_{A} \right ]\)
Powyższy wzór można wykorzystać do wyznaczenia współrzędnych punktu \(B\).
\( x_{B}-x_{A}=a_{x}\), \( y_{B}-y_{A}=a_{y}\), \( z_{B}-z_{A}=a_{z}\)
\( x_{B} =a_{x}+ x_{A}\), \( y_{B}=a_{y}+ y_{A}\), \( z_{B} =a_{z}+ z_{A} \)
\( x_{B} =-4+1\), \( y_{B}=-2+ 1\), \( z_{B} =\pm\,4\sqrt{5}+\sqrt{5} \)
\( x_{B} =-3\), \( y_{B}=-1\), \( z_{B} =5\sqrt{5} \) lub \( x_{B} =-3\), \( y_{B}=-1\), \( z_{B} =-3\sqrt{5} \)
Odpowiedź
Współrzędne końca wektora wynoszą: \(B=\left [-3,\,-1,\,-3\sqrt{5} \right ]\) lub \(B=\left [-3,\,-1,\,5\sqrt{5} \right ]\).