Processing math: 100%
Zadanie  1.3.2.3
DOI: 10.37190/OZE-FizykaCw1-r1

 Zadanie 1.3.2.3

Kąt pomiędzy wektorami
Kąt pomiędzy wektorami a=(1+23)ˆi+(23)ˆj+ˆk oraz b=2ˆiˆj+xˆk  wynosi  30. Wyznacz x.

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź, klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Odpowiedź

Trzecia współrzędna wektora b wynosi x10,89 lub x20,29.

Polecenie

Z poniższych zestawów danych wybierz ten, który odpowiada treści zadania.

Dane:
- współrzędne wektora pierwszego a=(1+23)ˆi+(23)ˆj+ˆk,
- współrzędne wektora drugiego b=2ˆiˆj+xˆk,
- kąt pomiędzy danymi wektorem a osią OX układu współrzędnych φ=30.

Szukane:
- długość wektora b.

Odpowiedź nieprawidłowa
Nieprawidłowa szukana.

Dane:
- współrzędne wektora pierwszego a=(1+23)ˆi+(23)ˆj+ˆk,
- współrzędne wektora drugiego b=2ˆiˆj+xˆk,
- kąt pomiędzy danymi wektorami φ=30.

Szukane:
- trzecia współrzędna wektora b.

Odpowiedź prawidłowa
Do wyznaczenia brakującej współrzędnej wektora b można użyć definicji iloczynu skalarnego. Rozwiązanie zadania będzie przedstawione w 3 etapach.

Krok 1
Obliczenie długości danych wektorów.
 Teoria – kąt pomiędzy wektorami
Kąt pomiędzy wektorami φ można wyznaczyć korzystając z definicji iloczynu skalarnego dwóch wektorów ab=abcosφ, gdzie ab oznaczają długości wektora.

Polecenie

Wybierz spośród trzech jeden zestaw prawidłowych długości wektora a oraz wektora b.

Wybór 1 z 3

Długości wektorów wynoszą:
|a|=21
|b|=5+x2

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 3

Długości wektorów wynoszą:
|a|=3
|b|=x

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 3

Długości wektorów wynoszą:
|a|=32
|b|=3+x2

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie - etap 1

|a|=a2x+a2y+a2z

|a|=(1+23)2+(23)2+12
|a|=1+43+12+443+3+1=21

|b|=22+(1)2+x2=5+x2

Polecenie

Krok 2 polega na obliczeniu wartości iloczynu skalarnego ab. Wskaż, wśród trzech poniższych wartości, tę, która przedstawia prawidłowe rozwiązanie.

Wybór 1 z 3

ab=53+x

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 3

ab=5x

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 3

ab=23x

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie - etap 2

Obliczenie wartości iloczynu skalarnego ab
ab=xaxb+yayb+zazb, gdzie a=[xa,ya,za] oraz b=[xb,yb,zb]

ab=(1+23)2+(23)(1)+1x
ab=2+432+3+x=53+x

Polecenie

Wskaż jedną spośród dwóch formuł, tę która pozwoli obliczyć brakującą współrzędną wektora b.

cosφ=bz|b|

Odpowiedź nieprawidłowa

cosφ=ab|a||b|

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie - etap 3

Obliczenie trzeciej współrzędnej wektora b.

cos30=ab|a||b|
32=53+x215+x2
103+2x=635+x2 podnosimy obustronnie do kwadratu

1003+403x+4x2=63(5+x2)
300+403x+4x231563x2=0
59x2403x+15=0
Δ=1600345915=1260

Rozwiązaniem równania kwadratowego są pierwiastki x10,89 oraz x20,29.


Odpowiedź

Trzecia współrzędna wektora b wynosi x10,89 lub x20,29.