Zadanie 1.3.2.3
Informacja
Możesz zobaczyć odpowiedź, klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.
Odpowiedź
Trzecia współrzędna wektora \(\vec{b}\) wynosi \(x_1\approx 0,89\) lub \(x_2\approx 0,29\).
Polecenie
Z poniższych zestawów danych wybierz ten, który odpowiada treści zadania.
Dane:
- współrzędne wektora pierwszego \(\vec{a}=\left( 1+2\sqrt{3}\right)\hat{i}+\left( 2-\sqrt{3}\right)\hat{j}+\hat{k}\),
- współrzędne wektora drugiego \(\vec{b}=2\;\hat{i}-\hat{j}+x\;\hat{k}\),
- kąt pomiędzy danymi wektorem a osią \(OX\) układu współrzędnych \(\varphi=30^{\circ}\).
Szukane:
- długość wektora \(\vec{b}\).
Nieprawidłowa szukana.
Dane:
- współrzędne wektora pierwszego \(\vec{a}=\left( 1+2\sqrt{3}\right)\hat{i}+\left( 2-\sqrt{3}\right)\hat{j}+\hat{k}\),
- współrzędne wektora drugiego \(\vec{b}=2\;\hat{i}-\hat{j}+x\;\hat{k}\),
- kąt pomiędzy danymi wektorami \(\varphi=30^{\circ}\).
Szukane:
- trzecia współrzędna wektora \(\vec{b}\).
Krok 1
Obliczenie długości danych wektorów.
Polecenie
Wybierz spośród trzech jeden zestaw prawidłowych długości wektora \(\vec{a}\) oraz wektora \(\vec{b}\).
Rozwiązanie - etap 1
\( \left|\vec{a}\right|=\sqrt{a_{x}^{2}+ a_{y}^{2}+ a_{z}^{2}}\)
\( \left |\vec{a} \right |=\sqrt{\left ( 1+2\sqrt{3} \right)^{2}+\left ( 2-\sqrt{3}\right)^{2}+1^{2}}\)
\( \left|\vec{a}\right|=\sqrt{1+4\sqrt{3}+12+4-4\sqrt{3}+3+1}=\sqrt{21}\)
\(\left|\vec{b}\right|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+x^2}=\sqrt{5+x^{2}}\)
Polecenie
Krok 2 polega na obliczeniu wartości iloczynu skalarnego \(\vec{a}\circ\vec{b}\). Wskaż, wśród trzech poniższych wartości, tę, która przedstawia prawidłowe rozwiązanie.
\(\vec{a}\circ\vec{b}=2\sqrt{3}-x\)
Rozwiązanie - etap 2
Obliczenie wartości iloczynu skalarnego \(\vec{a}\circ\vec{b}\)
\(\vec{a}\circ \vec{b}=x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b}+z_{a}\cdot z_{b}\), gdzie \(\vec{a}=[ x_{a}, y_{a}, z_{a}]\) oraz \(\vec{b}=[ x_{b}, y_{b}, z_{b}]\)
\(\vec{a}\circ\vec{b}=\left(1+2\sqrt{3}\right)\cdot 2+\left ( 2-\sqrt{3} \right )\cdot (-1)+1\cdot x\)
\(\vec{a}\circ\vec{b}=2+4\sqrt{3}-2+\sqrt{3}+x=5\sqrt{3}+x\)
Polecenie
Wskaż jedną spośród dwóch formuł, tę która pozwoli obliczyć brakującą współrzędną wektora \(\vec{b}\).
Rozwiązanie - etap 3
Obliczenie trzeciej współrzędnej wektora \(\vec{b}\).
\(100\cdot 3+40\sqrt{3}x+4x^{2}=63\cdot \left (5+x^2 \right )\)
\(300+40\sqrt{3}x+4x^2-315-63x^2=0\)
\(59x^2-40\sqrt{3}x+15=0\)
\(\Delta=1600\cdot 3-4\cdot 59\cdot 15=1260\)
Rozwiązaniem równania kwadratowego są pierwiastki \(x_1\approx 0,89\) oraz \(x_2\approx 0,29\).
Odpowiedź
Trzecia współrzędna wektora \(\vec{b}\) wynosi \(x_1\approx 0,89\) lub \(x_2\approx 0,29\).