Zadanie 1.3.2.4
Informacja
Możesz zobaczyć odpowiedź, klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.
Współrzędne wektora jednostkowego prostopadłego do wektora \(\vec{a}\) wynoszą:
\(\displaystyle{ \vec{n}_{1}=\frac{3\sqrt{13}}{13}\hat{i}+\frac{2\sqrt{13}}{13}\hat{j}}\)
\( \displaystyle{ \vec{n}_{2}=-\frac{3\sqrt{13}}{13}\hat{i}-\frac{2\sqrt{13}}{13}\hat{j}}\)
Oba wektory leżą na tej samej prostej prostopadłej do kierunku wyznaczonego wektorem \(\vec{a}\), lecz mają przeciwne do siebie zwroty.
Polecenie
Z poniższych dwóch zestawów danych wybierz jeden, który odpowiada treści zadania. Prawidłowy wybór odsłoni pierwszy etap rozwiązania.
\(\vec{a}=\vec{n}\cdot \left | \vec{a} \right |\)
Z własności iloczynu skalarnego wiemy, że dwa wektory są do siebie prostopadłe gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero.
Dane:
- współrzędne wektora \(\vec{a}=-2\,\hat{i}+3\,\hat{j}\)
Szukane:
- długość wektora \(\vec{n}\)
Dane:
- współrzędne wektora \(\vec{a}=-2\,\hat{i}+3\,\hat{j}\).
Szukane:
- współrzędne wektora \(\vec{n}=x\,\hat{i}+y\,\hat{j}\) o długości \(1\).
Rozwiązanie - etap 1
Długość wektora jednostkowego wynosi \(1\). Z twierdzenia Pitagorasa można zapisać \(x^2 + y^2=1^2\)
Wartość iloczynu skalarnego wynosi \(\vec{a}\circ\vec{n}=-2x+3y\).
Z własności iloczynu skalarnego wiemy, że dwa wektory są do siebie prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero więc \(-2x+3y=0\).
Otrzymujemy układ równań:
\(\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=1 & \\ -2x+3y=0 \end{matrix}\right.\)
Polecenie
Wybierz, spośród dwóch, prawidłowe rozwiązanie powyższego równania.
Rozwiązaniem układu równań \(\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=1\\ 2x-3y=0\end{matrix}\right.\) jest wektor \(\vec{n}= x\,\hat{i}+y\,\hat{j}\) o współrzędnych \(x\) i \(y\) równych:
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{3\sqrt{10}}{10};\; \; \; y_{1}=\frac{\sqrt{10}}{5}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=-\frac{3\sqrt{10}}{10};\; \; \; y_{2}=-\frac{\sqrt{10}}{5}}\)
Czyli dwa wektory jednostkowe prostopadłe do wektora \(\vec{a}\)
\(\displaystyle{ \vec{n}_{1}=\frac{3\sqrt{10}}{10}\hat{i}+\frac{\sqrt{10}}{5}\hat{j}}\)
\( \displaystyle{ \vec{n}_{2}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}\hat{i}-\frac{\sqrt{10}}{5}\hat{j}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{3\sqrt{13}}{13};\; \; \; y_{1}=\frac{2\sqrt{13}}{13}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=-\frac{3\sqrt{13}}{13};\; \; \; y_{2}=-\frac{2\sqrt{13}}{13}}\)
Czyli dwa wektory jednostkowe prostopadłe do wektora \(\vec{a}\)
\(\displaystyle{ \vec{n}_{1}=\frac{3\sqrt{13}}{13}\hat{i}+\frac{2\sqrt{13}}{13}\hat{j}}\)
\( \displaystyle{ \vec{n}_{2}=-\frac{3\sqrt{13}}{13}\hat{i}-\frac{2\sqrt{13}}{13}\hat{j}}\)
Rozwiązanie - etap 2
\(\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=1 & \\ 2x=3y \end{matrix}\right.\)
\(\displaystyle{\left (\frac{3}{2} y \right )^{2}+y^{2}=1}\)
\(\displaystyle{\frac{9}{4} y ^{2}+y^{2}=1}\)
\(\displaystyle{\frac{13}{4}y^{2}=1}\)
\(\displaystyle{y^{2}=\frac{4}{13}}\) po obustronnym spierwiastkowaniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{y=\pm\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{13}}\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\pm\frac{2\sqrt{13}}{13}}\)
\(\displaystyle{x=\frac{3}{2}\cdot y =\pm\frac{3}{2}\cdot \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\pm\frac{3\sqrt{13}}{13}}\)
Odpowiedź
Współrzędne wektora jednostkowego prostopadłego do wektora \(\vec{a}\) wynoszą:
\(\displaystyle{ \vec{n}_{1}=\frac{3\sqrt{13}}{13}\hat{i}+\frac{2\sqrt{13}}{13}\hat{j}}\)
\( \displaystyle{ \vec{n}_{2}=-\frac{3\sqrt{13}}{13}\hat{i}-\frac{2\sqrt{13}}{13}\hat{j}}\)
Oba wektory leżą na tej samej prostej prostopadłej do kierunku wyznaczonego wektorem \(\vec{a}\), lecz mają przeciwne do siebie zwroty.