DOI: 10.37190/OZE-FizykaCw1-r1
Zadanie 1.4.1.3
Iloczyn wektorowy mieszany
Dane są trzy wektory: →a=−ˆi+2ˆj+ˆk, →b=ˆi+2ˆj+3ˆk oraz →c=−3ˆi+2ˆj+ˆk. Oblicz iloczyn mieszany →a∘(→b×→c).
Wskazówka teoretyczna
Teoria - iloczyn wektorowy mieszany
Iloczyn wektorowy mieszany →a∘(→b×→c) obliczamy następująco:
→a∘(→b×→c)=ax(bycz−bzcy)ˆi+ay(bzcx−bxcz)ˆj+az(bxcy−bycx)ˆk,
gdzie: →a=[ax,ay,az], →b=[bx,by,bz], →c=[cx,cy,cz].
Przykładowe zależności:
→a∘(→b×→c)=→c∘(→a×→b)=→b∘(→c×→a)
→a×(→b×→c)=→b(→a∘→b)−→c(→c∘→a)
Iloczyn mieszany można traktować jako jeszcze jedno oznaczenie wyznacznika: iloczyn mieszany trzech wektorów jest równy ich wyznacznikowi bądź wyznacznikowi macierzy stopnia 3 z wektorami zapisanymi w niej wierszowo bądź kolumnowo.
→a∘(→b×→c)=ax(bycz−bzcy)ˆi+ay(bzcx−bxcz)ˆj+az(bxcy−bycx)ˆk,
gdzie: →a=[ax,ay,az], →b=[bx,by,bz], →c=[cx,cy,cz].
Przykładowe zależności:
→a∘(→b×→c)=→c∘(→a×→b)=→b∘(→c×→a)
→a×(→b×→c)=→b(→a∘→b)−→c(→c∘→a)
Iloczyn mieszany można traktować jako jeszcze jedno oznaczenie wyznacznika: iloczyn mieszany trzech wektorów jest równy ich wyznacznikowi bądź wyznacznikowi macierzy stopnia 3 z wektorami zapisanymi w niej wierszowo bądź kolumnowo.
Dane i szukane
Dane:
- wektor pierwszy o współrzędnych →a=−ˆi+2ˆj+ˆk,
- wektor drugi o współrzędnych →b=ˆi+2ˆj+3ˆk,
- wektor trzeci o współrzędnych →c=−3ˆi+2ˆj+ˆk.
Szukane:
- iloczyn wektorowy mieszany →a∘(→b×→c).
Rozwiązanie
→a∘(→b×→c)=ax(bycz−bzcy)ˆi+ay(bzcx−bxcz)ˆj+az(bxcy−bycx)ˆk
→a∘(→b×→c)=−1⋅(2⋅1−2⋅3)+2⋅(3⋅(−3)−1⋅1)+1⋅(1⋅2−2⋅(−3))
→a∘(→b×→c)=−1⋅(−4)+2⋅(−10)+1⋅8=−8
Odpowiedź
Iloczyn mieszany wynosi →a∘(→b×→c)=−8.