Zadanie 1.4.1.3
Wskazówka teoretyczna
\(\vec{a}\circ (\vec{b}\times \vec{c})=a_{x}(b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y})\, \hat{i}+a_{y}(b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z})\, \hat{j}+a_{z}(b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x})\, \hat{k}\),
gdzie: \(\vec{a}=\left [a_{x},\,a_{y},\,a_{z} \right]\), \(\vec{b}=\left [b_{x},\,b_{y},\,b_{z} \right]\), \(\vec{c}=\left [c_{x},\,c_{y},\,c_{z} \right]\).
Przykładowe zależności:
\(\vec{a}\circ (\vec{b}\times \vec{c})=\vec{c}\circ (\vec{a}\times \vec{b})=\vec{b}\circ (\vec{c}\times \vec{a})\)
\(\vec{a}\times(\vec{b}\times \vec{c})=\vec{b}\: (\vec{a}\circ\vec{b})-\vec{c}\: (\vec{c}\circ \vec{a})\)
Iloczyn mieszany można traktować jako jeszcze jedno oznaczenie wyznacznika: iloczyn mieszany trzech wektorów jest równy ich wyznacznikowi bądź wyznacznikowi macierzy stopnia 3 z wektorami zapisanymi w niej wierszowo bądź kolumnowo.
Dane i szukane
Dane:
- wektor pierwszy o współrzędnych \(\vec{a}= -\hat{i}+2\,\hat{j}+\hat{k}\),
- wektor drugi o współrzędnych \(\vec{b}=\,\hat{i}+2\,\hat{j}+3\,\hat{k}\),
- wektor trzeci o współrzędnych \(\vec{c}=-3\,\hat{i}+2\,\hat{j}+\hat{k}\).
Szukane:
- iloczyn wektorowy mieszany \(\vec{a}\circ \left (\vec{b}\times \vec{c}\right)\).
Rozwiązanie
\(\vec{a}\circ (\vec{b}\times \vec{c})=a_{x}(b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y})\, \hat{i}+a_{y}(b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z})\, \hat{j}+a_{z}(b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x})\, \hat{k}\)
\(\vec{a}\circ \left (\vec{b}\times \vec{c}\right)=-1\cdot \left ( 2\cdot 1-2\cdot 3 \right )+2\cdot \left ( 3\cdot (-3)-1\cdot 1 \right)+1\cdot \left ( 1\cdot 2-2\cdot (-3) \right )\)
\(\vec{a}\circ \left (\vec{b}\times \vec{c}\right)=-1\cdot \left ( -4 \right )+2\cdot \left ( -10 \right)+1\cdot 8=-8\)
Odpowiedź
Iloczyn mieszany wynosi \(\vec{a}\circ \left (\vec{b}\times \vec{c}\right)=-8\).