Processing math: 100%
Zadanie 1.4.1.3
DOI: 10.37190/OZE-FizykaCw1-r1

 Zadanie 1.4.1.3

Iloczyn wektorowy mieszany
Dane są trzy wektory: a=ˆi+2ˆj+ˆk,   b=ˆi+2ˆj+3ˆk oraz c=3ˆi+2ˆj+ˆk. Oblicz iloczyn mieszany a(b×c).

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - iloczyn wektorowy mieszany
Iloczyn wektorowy mieszany a(b×c) obliczamy następująco:
a(b×c)=ax(byczbzcy)ˆi+ay(bzcxbxcz)ˆj+az(bxcybycx)ˆk,
gdzie: a=[ax,ay,az],   b=[bx,by,bz],   c=[cx,cy,cz].

Przykładowe zależności:
a(b×c)=c(a×b)=b(c×a)
a×(b×c)=b(ab)c(ca)

Iloczyn mieszany można traktować jako jeszcze jedno oznaczenie wyznacznika: iloczyn mieszany trzech wektorów jest równy ich wyznacznikowi bądź wyznacznikowi macierzy stopnia 3 z wektorami zapisanymi w niej wierszowo bądź kolumnowo.

Dane i szukane

Dane:
- wektor pierwszy o współrzędnych a=ˆi+2ˆj+ˆk,
- wektor drugi o współrzędnych b=ˆi+2ˆj+3ˆk,
- wektor trzeci o współrzędnych c=3ˆi+2ˆj+ˆk.

Szukane:
- iloczyn wektorowy mieszany a(b×c).

Rozwiązanie

a(b×c)=ax(byczbzcy)ˆi+ay(bzcxbxcz)ˆj+az(bxcybycx)ˆk
a(b×c)=1(2123)+2(3(3)11)+1(122(3))
a(b×c)=1(4)+2(10)+18=8

Odpowiedź

Iloczyn mieszany wynosi a(b×c)=8.