Zadanie 2.1.1.3
  1. Kurs obliczeniowy z fizyki
  2. 2. Kinematyka
  3. 2.1. Ruch prostoliniowy
  4. 2.1.1 Nauka
  5. Zadanie 2.1.1.3

 Zadanie 2.1.1.3

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny
Motor jadący z szybkością \(\displaystyle{v_1=80\ \mathrm{\frac{km}{h}}}\) w pewnej chwili zaczął hamować i po przejechaniu odległości \(50\ \mathrm{m}\) jego szybkość zmniejszyła się do wartości \(\displaystyle{v_2=60\ \mathrm{\frac{km}{h}}}\). Zakładając, że w czasie hamowania wartość wypadkowej sił oporu była stała, wyznacz czas oraz przyspieszenie hamowania.

Wskazówka teoretyczna

Teoria - ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy
Prędkość \(v\) w ruchu jednostajnie opóźnionym po czasie \(t\):
\[v=v_0-at\]
\(v_0\) - wartość prędkości początkowej,
\(a\) - wartość przyspieszenia \(a=const\).

Droga \(S\) przebyta przez ciało w ruchu jednostajnie opóźnionym po czasie \(t\):
\[\displaystyle{S=S_0+v_0t-\frac{1}{2}at^2}\]
\(S_0\) - droga początkowa w chwili \(t=0\),
\(v_0\) - wartość prędkości początkowej,
\(a\) - wartość przyspieszenia \(a=const\).

 Rysunek

Rysunek 3

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- szybkość przed hamowaniem \(\displaystyle{v_1 = 80\ \mathrm{\frac{km}{h}} = 22,22\ \mathrm{\frac{m}{s}}}\),
- szybkość po hamowaniu \(\displaystyle{v_2 = 60\ \mathrm{\frac{km}{h}} = 16,66\ \mathrm{\frac{m}{s}}}\),
- droga hamowania \(S=50\ \mathrm{m}\).

Szukane:
- czas hamowania \(t\),
- przyspieszenie podczas hamowania \(a\).

Analiza sytuacji

Motor będzie się poruszał ruchem jednostajnie opóźnionym. Funkcja opisująca zależność prędkości od czasu w ruchu jednostajnie opóźnionym, pozwala połączyć prędkość początkową z prędkością końcową motoru:  

\( v(t) = v_0 - at\)
W przypadku danych z zadania, mamy: \( v_2 = v_1 - at \)
Funkcja opisująca zależność drogi od czasu ma postać:
\(\displaystyle{S(t) = S_0 + v_0\,t - \frac{at^2}{2}}\)
W przypadku danych z zadania, mamy: \(\displaystyle{S = v_1\,t - \frac{at^2}{2}}\)
 Czynnik \(S_0\) - oznaczający drogę przebytą przed rozpoczęciem hamowania – możemy pominąć, gdyż zgodnie z treścią zadania interesuje nas tylko droga przebyta podczas hamowania, a nie przedtem. Wobec tego przyjmujemy, że \(S_0=0\). 

Przekształcając ogólne równania opisujące ten ruch do posiadanych informacji, uzyskujemy:
\(\left\{\begin{matrix} v_2 = v_1 - at \\ S = v_1\,t - \frac{at^2}{2} \end{matrix}\right.\)
Ponieważ w uzyskanym układzie dwóch równań znajdują się dwie niewiadome (\(a\) i \(t\)), to układ jest rozwiązywalny.

Rozwiązanie

\(\left\{\begin{matrix} v_2 = v_1 - at \\ S = v_1\,t - \frac{at^2}{2} \end{matrix}\right.\)
Przekształcając pierwsze równanie, uzyskujemy wzór na czas hamowania: \(\displaystyle{ t=\frac{v_1 - v_2}{a} }\)
 \[ \eqalign{ v_2 &= v_1 - at \\ v_1 - v_2 &= at \\ t &= \frac{v_1 - v_2}{a} } \] 

Podstawiając otrzymaną zależność do drugiego równania i upraszczając, dostajemy wzór na przyspieszennie: \(\displaystyle{ a = \frac{v_1^2 - v_2^2}{2S}} \)
 \[ \eqalign{ 2S &=2v_1\,t-at^2 \\ 2S &= 2v_1\frac{v_1-v_2}{a} - a\frac{(v_1-v_2)^2}{a^2}\\ 2S &=\frac{2v_1^2-2v_1v_2}{a}-\frac{v_1^2-2v_1v_2+v_2^2}{a} \\ 2Sa &= 2v_1^2-2v_1v_2-v_1^2+2v_1v_2-v_2^2 \\ 2Sa &= v_1^2-v_2^2 \\ a &= \frac{v_1^2-v_2^2}{2S} } \] 

Po podstawieniu danych otrzymujemy:
\( \displaystyle{ a = \frac{v_1^2-v_2^2}{2S} = \frac{22,22^2 - 16,66^2}{2 \cdot 50} = 2,17\ \mathrm{\frac{m}{s^2}} }\)

Uzyskane przyspieszenie umieszczamy we wzorze na czas i obliczamy:
\( \displaystyle{ t =\frac{v_1 - v_2}{a}= \frac{22,22-16,66}{2,17} = 2,58\ \mathrm {s}} \)

Odpowiedź

Czas hamowania motoru wynosi \(t =2,58\ \mathrm{s}\), a przyspieszenie hamowania \(a=2,17\ \displaystyle{\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\).