Zadanie 2.2.2.2
  1. Kurs obliczeniowy z fizyki
  2. 2. Kinematyka
  3. 2.2. Ruch w układzie kartezjańskim
  4. 2.2.2 Trening
  5. Zadanie 2.2.2.2

 Zadanie 2.2.2.2

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny
Cząstki \(A\) i \(B\) poruszają się w układzie kartezjańskim. Prędkość cząstki \(A\) opisana jest równaniem \(\displaystyle{\vec{v}_A =(-\hat{i}+2\hat{j})\;\mathrm{\frac{m}{s}}}\), natomiast prędkość cząstki \(B\) wynosi \(\displaystyle{\vec{v}_B =(\hat{i}+\hat{j})\;\mathrm{\frac{m}{s}}}\). W chwili \(t=0\,\mathrm{s}\) cząstka \(A\) znajduje się w punkcie o współrzędnych \(P_A=(5,-4)\;\mathrm{m}\), natomiast cząstka \(B\) w punkcie o współrzędnych \(P_B=(-3,-3)\;\mathrm{m}\). Określ zależność od czasu wektora położenia cząstki \(B\) względem \(A\). W którym miejscu oraz momencie czasu cząstki będą najbliżej siebie?

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź, klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- prędkość cząstki \(A\): \(\displaystyle{\vec{v}_A =(-\hat{i}+2\hat{j})\;\mathrm{\frac{m}{s}}}\),
- prędkość cząstki \(B\): \(\displaystyle{\vec{v}_B =(\hat{i}+\hat{j})\;\mathrm{\frac{m}{s}}}\),
- położenie cząstki \(A\) w chwili \(t=0\): \(P_A=(5,-4)\;\mathrm{m}\),
- położenie cząstki \(B\) w chwili \(t=0\): \(P_B=(-3,-3)\;\mathrm{m}\).

Szukane:
- wektor położenia wektora cząstki \(B\) względem \(A\),
- czas, w którym cząstki będą najbliżej siebie,
- położenie cząstek, w momencie kiedy odległość między nimi będzie najmniejsza.

Odpowiedź

Wektor położenia cząstki \(A\) względem \(B\) wynosi \(\vec{r}_B-\vec{r}_A=\begin{bmatrix}(-8+2t)\hat{i}+(1-t)\hat{j} \end{bmatrix}\;\mathrm{m}\). Cząstki będą najbliżej siebie w chwili \(\displaystyle{t=3,4\,\mathrm{s}}\), a położenie ich w tej chwili opisywane jest wektorami: \(\vec{r}_A(t=3,4)=(1,6\,\hat{i}+2,8\hat{j})\;\mathrm{m}\) oraz \(\vec{r}_B(t=3,4)=(0,4\hat{i}+0,4\,\hat{j})\;\mathrm{m}\).

Polecenie

Który z wymienionych poniżej zestawów przedstawia drogę przebytą przez cząstkę \(A\) i \(B\). Wybierz jeden prawidłowy zestaw wartości spośród dwóch.

Wybór 1 z 2

\(r_A=(5-t)\hat{i}+(-4+2t)\hat{j}\)
\(r_B=(-3+t)\hat{i}+(-3+t)\hat{j}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

\(r_A=(5-4t)\hat{i}+(-1+2t)\hat{j}\)
\(r_B=(-3-3t)\hat{i}+(1+t)\hat{j}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Wektory wodzące cząstek w chwili początkowej wynoszą:

\(\vec{r}_{Ao}=(5\,\hat{i}-4\,\hat{j})\;\mathrm{m}\)
\(\vec{r}_{Bo}=(-3\,\hat{i}-3\,\hat{j})\;\mathrm{m}\)

Drogę przebytą przez ciało w ruchu jednostajnym można zapisać jako:
\(\vec{r}(t)=\vec{r}_o+\vec{v}\cdot t\)

Dla sytuacji z zadania mamy: \(\vec{r}_A(t)=\vec{r}_{Ao}+\vec{v}_A\cdot t\)  oraz  \(\vec{r}_B(t)=\vec{r}_{Bo}+\vec{v}_B\cdot t\). Podstawiając dane z zadania otrzymujemy:
\(\vec{r}_A(t)=5\,\hat{i}-4\,\hat{j}-\hat{i}t+2\,\hat{j}t=(5-t)\,\hat{i}+(-4+2t)\,\hat{j}\)
\(\vec{r}_B(t)=-3\,\hat{i}-3\,\hat{j}+\hat{i}t+\hat{j}t=(-3+t)\,\hat{i}+(-3+t)\,\hat{j}\)

Polecenie

Oblicz odległość między cząsteczkami i wybierz jedną zależność spośród dwóch umieszczonych poniżej, przedstawiającą prawidłowy wynik.

Wybór 1 z 2

\(d=\sqrt{2t^2-6t+5}\;\mathrm{m}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 2

\(d=\sqrt{5t^2-34t+65}\;\mathrm{m}\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Wektor położenia cząstki \(B\) względem \(A\) w funkcji czasu wynosi:

\(\vec{r}_B-\vec{r}_A=\left [ (-3+t-5+t)\,\hat{i}+(-3+t+4-2t)\,\hat{j} \right ]\)
\(\vec{r}_B-\vec{r}_A=\left [(-8+2t)\hat{i}+(1-t)\hat{j} \right ]\;\mathrm{m}\)
Odległość między cząstkami wynosi:
\(d=\left | \vec{r}_B-\vec{r}_A \right |=\sqrt{(-8+2t)^2+(1-t)^2}\)
\(d=\sqrt{64-32t+4t^2+1-2t+t^2}\)
\(d=\sqrt{5t^2-34t+65}\;\mathrm{m}\)

Polecenie

Wyznacz czas, w którym cząstki znajdują się najbliżej siebie. Wybierz jedną prawidłową odpowiedź spośród czterech.

Wybór 1 z 4

\(t=3,4 \,\mathrm{s}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 4

\(t=1,5 \,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(t=4,2 \,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(t=0,5 \,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Odległość między cząstkami jest najmniejsza, gdy funkcja \(d(t)\) przyjmuje minimalną wartość lub też funkcja \(f(t)=5t^2-34t+65\) osiąga minimum. Funkcja \(f(t)\) jest parabolą skierowaną ramionami „do góry”. Położenie wierzchołka (minimum) tej paraboli możemy wyznaczyć na podstawie własności trójmianu kwadratowego. Należy policzyć współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli \(w (p,q)\).
Współrzędna \(p\) wynosi:

\(\displaystyle{p=-\frac{b}{2a}=-\frac{-34}{2\cdot5}}=3,4\,\mathrm{s}\)

Rozwiązanie

Położenie cząstek w chwili \(\displaystyle{t=3,4\;\mathrm{s}}\) wynosi:

\(\displaystyle{\vec{r}_A (t)=(5-3,4)\,\hat{i}+(-4+2\cdot3,4)\,\hat{j}=(1,6\,\hat{i}+2,8\hat{j})\;\mathrm{m}}\)
\(\displaystyle{\vec{r}_B (t)=(-3+3,4)\,\hat{i}+(-3+3,4)\,\hat{j}=(0,4\,\hat{i}+0,4\,\hat{j})\;\mathrm{m}}\)

Odpowiedź

Wektor położenia cząstki \(A\) względem \(B\) wynosi \(\vec{r}_B-\vec{r}_A=\begin{bmatrix}(-8+2t)\hat{i}+(1-t)\hat{j} \end{bmatrix}\;\mathrm{m}\). Cząstki będą najbliżej siebie w chwili \(\displaystyle{t=3,4\,\mathrm{s}}\), a położenie ich w tej chwili opisywane jest wektorami: \(\vec{r}_A(t=3,4)=(1,6\,\hat{i}+2,8\hat{j})\;\mathrm{m}\) oraz \(\vec{r}_B(t=3,4)=(0,4\hat{i}+0,4\,\hat{j})\;\mathrm{m}\).