Zadanie 2.2.2.3
  1. Kurs obliczeniowy z fizyki
  2. 2. Kinematyka
  3. 2.2. Ruch w układzie kartezjańskim
  4. 2.2.2 Trening
  5. Zadanie 2.2.2.3

 Zadanie 2.2.2.3

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny
Zależność przebytej przez ciało drogi \(S\) od czasu podaje równanie \(S(t)=(q+t+2\,t^2+3\,t^3)\,\mathrm{m}\). W czasie \(t=0,5\,\mathrm{s}\) ciało pokonało drogę \(2\,\mathrm{m}\). Znajdź zależność prędkości i przyspieszenia od czasu oraz wartość \(q\). Jakie będzie średnie przyspieszenie w przedziale czasu od \(2\,\mathrm{s}\) do \(4\,\mathrm{s}\)?

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź, klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- zależność opisująca przebytą drogę \(S(t)=(q+t+2\,t^2+3\,t^3)\,\mathrm{m}\),
- droga przebyta w czasie \(t=0,5\,\mathrm{s}\): \(2\,\mathrm{m}\),

Szukane:
- zależność prędkości od czasu,
- zależność przyspieszenia od czasu,
- wartość parametru \(q\),
- wartość średniego przyspieszenia w przedziale czasu \(\left \langle 2,4 \right \rangle\,\mathrm{s}\).

Odpowiedź

Zależność prędkości od czasu wynosi \(\displaystyle{v(t)=(1+4\,t+9\,t^2)\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\) zaś zależność przyspieszenia od czasu wynosi \(\displaystyle{a(t)=(4+18\,t)}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\). Wartość parametru \(q\) wynosi \(q=0,625\mathrm{m}\). Wartość średniego przyspieszenia w przedziale czasu \(\left \langle 2,4 \right \rangle\,\mathrm{s}\) wynosi \(\displaystyle{58\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\).

Polecenie

Wyznacz zależność prędkości i przyspieszenia od czasu. Wybierz prawidłową odpowiedź wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Zestaw 1 z 2

\(\displaystyle{v(t)=(t+2\,t+3\,t^2)\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)
\(\displaystyle{a(t)=(2+6\,t)}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Zestaw 2 z 2

\(\displaystyle{v(t)=(1+4\,t+9\,t^2)\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)
\(\displaystyle{a(t)=(4+18\,t)}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

W treści zadania podana jest zależność przebytej przez ciało drogi od czasu. W takim przypadku można wyznaczyć zależność opisującą prędkość oraz przyspieszenie od czasu. W tym celu należy skorzystać z pochodnych.

Prędkość jest pierwszą pochodną położenia po czasie:

\(\displaystyle{v=\frac{\mathrm{d}S }{\mathrm{d} t}}\)
\(\displaystyle{v=\frac{\mathrm{d}(x+t+2\,t^2+3\,t^3) }{\mathrm{d} t}}\)
\(v(t)=1+2\cdot2t+3\cdot3t^2\)
\(v(t)=1+4\,t+9\,t^2\)
 \((a\,x^\alpha)'=a\cdot\alpha\,x^{\alpha-1}\) 

Pochodna zależności przyspieszenia w czasie pozwoli wyznaczyć zależność na przyspieszenie w funkcji czasu.
\(\displaystyle{a=\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} t}}\)
\(\displaystyle{a=\frac{\mathrm{d}(1+4\,t+9\,t^2) }{\mathrm{d} t}}\)
\(a(t)=4+9\cdot2t\)
\(a(t)=4+18\,t\)

Polecenie

Wyznacz wartość parametru \(q\). Wybierz jedną prawidłową odpowiedź, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(q=-2\,\mathrm{m}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(q=6,25\,\mathrm{m}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(q=0,625\,\mathrm{m}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 4 z 4

\(q=0,375\,\mathrm{m}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Z treści zadania wynika, że ciało w czasie \(t=0,5\,\mathrm{s}\) pokonało drogę \(2\,\mathrm{m}\). Aby policzy wartość parametru \(q\) wystarczy dane podstawić do równania:

\(S(t)=(q+t+2\,t^2+3\,t^3)\,\mathrm{m}\)
\(S(0,5)=q+\frac{1}{2}+2\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^2+3\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^3=(q+1,375)\,\mathrm{m}\)
\(2=q+1,375\)
\(q=0,625\,\mathrm{m}\)

Polecenie

Oblicz średnie przyspieszenie w przedziale czasu \(\left \langle 2,4 \right \rangle\) i wybierz jedną prawidłową odpowiedź wśród czterech podanych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(\displaystyle{a_{śr}=9\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(\displaystyle{a_{śr}=11\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(\displaystyle{a_{śr}=34\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(\displaystyle{a_{śr}=58\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Średnie przyspieszenie w przedziale czasu od \(2\) do \(4\;\mathrm{s}\) obliczamy z zależności:

\(\displaystyle{a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}}\)

\(\displaystyle{v_1=v(2)=1+4\cdot2+9\cdot2^2=45\;\mathrm{\frac{m}{s}}}\)
\(\displaystyle{v_2=v(4)=1+4\cdot4+9\cdot4^2=161\;\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

\(\displaystyle{a=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{161-45}{4-2}=58}\)
\(\displaystyle{a=58\;\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Odpowiedź

Zależność prędkości od czasu wynosi \(\displaystyle{v(t)=(1+4\,t+9\,t^2)\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\) zaś zależność przyspieszenia od czasu wynosi \(\displaystyle{a(t)=(4+18\,t)}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\). Wartość parametru \(q\) wynosi \(q=0,625\mathrm{m}\). Wartość średniego przyspieszenia w przedziale czasu \(\left \langle 2,4 \right \rangle\,\mathrm{s}\) wynosi \(\displaystyle{58\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\).