Zadanie 2.4.2.3
  1. Kurs obliczeniowy z fizyki
  2. 2. Kinematyka
  3. 2.4. Ruch krzywoliniowy
  4. 2.4.2 Trening
  5. Zadanie 2.4.2.3

 Zadanie 2.4.2.3

Ruch jednostajnie zmiennym po okręgu
Równanie opisujące zależność drogi kątowej, przebytej przez ciało w ruchu jednostajnie zmiennym po okręgu od czasu, wyraża zależność \( \varphi=(3+2t+0,5 t^2)\,\mathrm{rad}\). Wyznacz przyspieszenie kątowe, prędkość kątową oraz liniową w \(4\) sekundzie ruchu. Promień okręgu wynosi \(0,5\,\mathrm{m}\).

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź, klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- równanie opisujące zależność drogi kątowej, przebytej przez ciało, w ruchu jednostajnie zmiennym po okręgu, od czasu \(\varphi=3+2t+0,5 t^2\,\mathrm{rad}\),
- promień okręgu \(R=0,5\,\mathrm{m}\).

Szukane:
- przyspieszenie kątowe \(\varepsilon\),
- prędkość kątowa w czwartej sekundzie ruchu \(\omega\),
- prędkość liniowa w czwartej sekundzie ruchu \(v\).

Odpowiedź

Przyspieszenie kątowe wynosi \(\displaystyle{\varepsilon=1\mathrm{\frac{rad}{s^2}}}\). Prędkości liniowa i kątowa, w czwartej sekundzie ruchu, mają odpowiednio wartości:  \(\displaystyle{\omega(t=4\,\mathrm{s})=6\mathrm{\frac{rad}{s}}}\)  oraz  \(\displaystyle{v(t=4\,\mathrm{s})=3\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\).

Polecenie

Wyznacz przyspieszenie kątowe oraz prędkość kątową w czwartej sekundzie ruchu. Wybierz, wśród dwóch przedstawionych poniżej, jeden zestaw prawidłowo obliczonych wartości.

Wybór 1 z 2

\(\displaystyle{\varepsilon=1\,\frac{rad}{s^2}}\)
\(\displaystyle{\omega=6\,\frac{rad}{s}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

\(\displaystyle{\varepsilon=0,5\frac{rad}{s^2}}\)
\(\displaystyle{\omega=4\frac{rad}{s}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Z równania \(\varphi=3+2t+0,5 t^2\,[\mathrm{rad}]\) można odczytać wartość przyspieszenia kątowego. Dla ułatwienia zadania, zapiszmy równanie na drogę kątową \(\varphi=\varphi_0+\omega_0t+0,5 \varepsilon t^2\,[\mathrm{rad}]\). Teraz wystarczy porównać oba równania i można odczytać wartości kąta początkowego \(\varphi_0\), prędkość kątową początkową \(\omega_0\) oraz przyspieszenie kątowe \(\varepsilon\).

\(\displaystyle{\varepsilon=1\frac{rad}{s^2}}\)

Obliczenie prędkości kątowej, w konkretnej chwili czasu, wymaga wyznaczenia równania zależnego od czasu. W tym celu należy policzyć pochodną drogi kątowej po czasie.  \((a\,x^{\alpha})'=\alpha \cdot ax^{\alpha-1}\) 
\(\displaystyle{\omega(t)= \frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d} t}=2+0,5\cdot 2t=2+t}\)
\(\omega(t)=2+t\)
Po podstawieniu za \(t\) wartości \(4\) otrzymujemy:
\(\omega(4)=2+4=6\)
\(\displaystyle{\omega=6\frac{rad}{s}}\)

Polecenie

Oblicz wartość prędkości liniowej i wybierz jedna prawidłową wartość, z pośród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(\displaystyle{v=1\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(\displaystyle{v=2\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(\displaystyle{v=3\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 4 z 4

\(\displaystyle{v=4\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Prędkość liniową wyznaczamy z zależności \(v=\omega \cdot R\).

\(v(t=4\,\mathrm{s})=\omega(t=4\,\mathrm{s}) \cdot R=6\cdot 0,5=3\)   \(\displaystyle{\left [ \mathrm{\frac{rad}{s}\cdot m=\frac{m}{s}} \right ]}\)
\(\displaystyle{v(t=4\,\mathrm{s})=3\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź

Przyspieszenie kątowe wynosi \(\displaystyle{\varepsilon=1\mathrm{\frac{rad}{s^2}}}\). Prędkości liniowa i kątowa, w czwartej sekundzie ruchu, mają odpowiednio wartości:  \(\displaystyle{\omega(t=4\,\mathrm{s})=6\mathrm{\frac{rad}{s}}}\)  oraz  \(\displaystyle{v(t=4\,\mathrm{s})=3\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\).