Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Zadanie 2.4.2.4
DOI: 10.37190/OZE-FizykaCw1-r2

 Zadanie 2.4.2.4

Ruch po elipsie
Cząstka porusza się po elipsie, a jej położenie opisuje wektor wodzący r=4cos(π2t)ˆi+2sin(π2t)ˆj. Wyznacz wartość prędkości oraz przyspieszenia tej cząstki w czasie t1=0,5s oraz t2=4s.

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź, klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- wektor wodzący: wodzący r=4cos(π2t)ˆi+2sin(π2t)ˆj,

Szukane:
- prędkość w czasie t1: v1,
- prędkość w czasie t2: v2,
- przyspieszenie w czasie t1: a1,
- przyspieszenie w czasie t2: a2.

Odpowiedź

Prędkość w czasie 0,5s wynosi: v1=π102ms, natomiast w czwartej sekundzie ruchu cząstka posiada prędkość v2=πms.
Przyspieszenie w czasie 0,5s wynosi: a1=π21047,8ms2, natomiast w czwartej sekundzie ruchu przyspieszenie cząstki wynosi a2=π29,87ms2.

Polecenie

Wyznacz wartości prędkości w czasie t1 oraz t2. Wybierz jeden zestaw prawidłowych odpowiedzi, spośród dwóch przedstawionych poniżej.

Zestaw 1 z 2

v1=π102ms
v2=πms

Odpowiedź prawidłowa

Zestaw 2 z 2

v1=π10ms
v2=π2ms

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Najprościej jest wyznaczyć wektor prędkości punktu. Wektor wodzący wynosi:

r=4cos(π2t)ˆi+2sin(π2t)ˆj

Wektor prędkości wyznaczamy następująco:
v=drdt=4π2sin(π2t)ˆi+2π2cos(π2t)ˆj
(sin(x))=cos(x) (cos(x))=sin(x) (f(g(x)))=f(g(x))g(x)
v=2πsin(π2t)ˆi+πcos(π2t)ˆj

Wartość prędkości wynosi:
v=v2x+v2y=π4sin2(π2t)+cos2(π2t)


W czasie t1=0,5s prędkość wynosi:
v(t1)=π4sin2(π212)+cos2(π212)
π4sin2(π4)+cos2(π4)= =π4(22)2+(22)2= =π2+12=π52=π102
v(t1)=π1024,97ms

W czasie t1=4s prędkość wynosi:
v(t2)=π4sin2(π24)+cos2(π24)
v(t2)=π3,14ms
π4sin2(2π)+cos2(2π)= =π40+1=π1=π

Polecenie

Wyznacz wartości przyspieszeń w czasie t1, t2. Wybierz jeden zestaw prawidłowych odpowiedzi, spośród dwóch przedstawionych poniżej.

Zestaw 1 z 2

a1=π21047,8ms2
a2=π29,87ms2

Odpowiedź prawidłowa

Zestaw 2 z 2

a1=π214ms2
a2=2π2ms2

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Przyspieszenie punktu obliczamy z zależności:

a=dvdt=2ππ2cos(π2t)ˆiππ2sin(π2t)ˆj
a=π2cos(π2t)ˆiπ22sin(π2t)ˆj

Wartość przyspieszenia w czasie 0,5s wynosi:
a1=a21x+a21y=(π2cos(π212))2+(π22sin(π212))2
π4cos2(π4)+π44sin2(π4)= =π2(22)2+14(22)2= =π224+1424=π21016=π2104
a1=π21047,8ms2

Wartość przyspieszenia w czasie 4s wynosi:
a2=a22x+a22y=(π2cos(π24))2+(π22sin(π24))2
π4cos2(2π)+π44sin2(2π)= =π21+140=π2
a2=π29,87ms2

Odpowiedź

Prędkość w czasie 0,5s wynosi: v1=π102ms, natomiast w czwartej sekundzie ruchu cząstka posiada prędkość v2=πms.
Przyspieszenie w czasie 0,5s wynosi: a1=π21047,8ms2, natomiast w czwartej sekundzie ruchu przyspieszenie cząstki wynosi a2=π29,87ms2.