Zadanie 2.4.2.4
  1. Kurs obliczeniowy z fizyki
  2. 2. Kinematyka
  3. 2.4. Ruch krzywoliniowy
  4. 2.4.2 Trening
  5. Zadanie 2.4.2.4

 Zadanie 2.4.2.4

Ruch po elipsie
Cząstka porusza się po elipsie, a jej położenie opisuje wektor wodzący \(\displaystyle{\vec{r}=4\cos \left ( \frac{\pi}{2}t \right )\hat{i}+2\sin \left ( \frac{\pi}{2}t \right )\hat{j}}\). Wyznacz wartość prędkości oraz przyspieszenia tej cząstki w czasie \(t_1=0,5\,\mathrm{s}\) oraz \(t_2=4\,\mathrm{s}\).

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź, klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- wektor wodzący: wodzący \(\displaystyle{\vec{r}=4\cos \left ( \frac{\pi}{2}t \right )\hat{i}+2\sin \left ( \frac{\pi}{2}t \right )\hat{j}}\),

Szukane:
- prędkość w czasie \(t_1\): \(v_1\),
- prędkość w czasie \(t_2\): \(v_2\),
- przyspieszenie w czasie \(t_1\): \(a_1\),
- przyspieszenie w czasie \(t_2\): \(a_2\).

Odpowiedź

Prędkość w czasie \(0,5\,\mathrm{s}\) wynosi: \(\displaystyle{v_1=\pi\frac{\sqrt{10}}{2}\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\), natomiast w czwartej sekundzie ruchu cząstka posiada prędkość \(\displaystyle{v_2=\pi\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\).
Przyspieszenie w czasie \(0,5\,\mathrm{s}\) wynosi: \(\displaystyle{a_1=\pi^2\frac{\sqrt{10}}{4}\approx7,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\), natomiast w czwartej sekundzie ruchu przyspieszenie cząstki wynosi \(\displaystyle{a_2=\pi^2\approx9,87\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\).

Polecenie

Wyznacz wartości prędkości w czasie \(t_1\) oraz \(t_2\). Wybierz jeden zestaw prawidłowych odpowiedzi, spośród dwóch przedstawionych poniżej.

Zestaw 1 z 2

\(\displaystyle{v_1=\pi\frac{\sqrt{10}}{2}\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)
\(\displaystyle{v_2=\pi\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Zestaw 2 z 2

\(\displaystyle{v_1=\pi\sqrt{10}\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)
\(\displaystyle{v_2=\frac{\pi}{2}\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Najprościej jest wyznaczyć wektor prędkości punktu. Wektor wodzący wynosi:

\(\displaystyle{\vec{r}=4\cos \left ( \frac{\pi}{2}t \right )\hat{i}+2\sin \left ( \frac{\pi}{2}t \right )\hat{j}}\)

Wektor prędkości wyznaczamy następująco:
\(\displaystyle{\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r} }{\mathrm{d} t}=-4\cdot\frac{\pi}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right )\hat{i}+ 2\cdot\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right )\hat{j}}\)
 \[\left (\sin(x)\right )' =\cos(x)\] \[\left (\cos(x) \right )' =-\sin(x) \] \[ \left (f\left (g(x)\right )\right )' =f'\left (g(x)\right )\cdot g'(x)\] 
\(\displaystyle{\vec{v}=-2\pi\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right )\hat{i}+ \pi\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right )\hat{j}}\)

Wartość prędkości wynosi:
\(\displaystyle{v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\pi\sqrt{4\sin^2\left(\frac{\pi}{2}t\right )+\cos^2\left(\frac{\pi}{2}t\right )}}\)


W czasie \(t_1=0,5\,\mathrm{s}\) prędkość wynosi:
\(\displaystyle{v(t_1)=\pi\sqrt{4\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{2}\right )+\cos^2\left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{2}\right )}}\)
 \[\displaystyle{\pi\sqrt{4\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right )+\cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right )}=}\] \[\displaystyle{=\pi\sqrt{4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right )^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right )^2}=}\] \[\displaystyle{=\pi\sqrt{2+\frac{1}{2}}=\pi\sqrt{\frac{5}{2}}=\pi \frac{\sqrt{10}}{2}}\] 
\(\displaystyle{v(t_1)=\pi\frac{\sqrt{10}}{2}\approx4,97\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\)

W czasie \(t_1=4\,\mathrm{s}\) prędkość wynosi:
\(\displaystyle{v(t_2)=\pi\sqrt{4\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\cdot 4\right )+\cos^2\left(\frac{\pi}{2}\cdot 4\right )}}\)
\(\displaystyle{v(t_2)=\pi\approx3,14\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\)
 \[\displaystyle{\pi\sqrt{4\sin^2\left(2\pi\right )+\cos^2\left(2\pi\right )}=}\] \[\displaystyle{=\pi\sqrt{4\cdot 0+1}=\pi\sqrt{1}=\pi}\] 

Polecenie

Wyznacz wartości przyspieszeń w czasie \(t_1\), \(t_2\). Wybierz jeden zestaw prawidłowych odpowiedzi, spośród dwóch przedstawionych poniżej.

Zestaw 1 z 2

\(\displaystyle{a_1=\pi^2\frac{\sqrt{10}}{4}\approx7,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)
\(\displaystyle{a_2=\pi^2\approx9,87\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Zestaw 2 z 2

\(\displaystyle{a_1=\pi^2\frac{1}{4}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)
\(\displaystyle{a_2=2\pi^2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Przyspieszenie punktu obliczamy z zależności:

\(\displaystyle{\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v} }{\mathrm{d}t} =-2\pi\frac{\pi}{2}\cos\left ( \frac{\pi}{2}t \right )\hat{i}-\pi\frac{\pi}{2}\sin\left ( \frac{\pi}{2}t \right )\hat{j}}\)
\(\displaystyle{\vec{a}=-\pi^2\cos\left ( \frac{\pi}{2}t \right )\hat{i}-\frac{\pi^2}{2}\sin\left ( \frac{\pi}{2}t \right )\hat{j}}\)

Wartość przyspieszenia w czasie \(0,5\,\mathrm{s}\) wynosi:
\(\displaystyle{a_1=\sqrt{a_{1x}^2+a_{1y}^2}=\sqrt{\left (\pi^2\cos\left (\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)\right )^2+ \left (\frac{\pi^2}{2}\sin\left (\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)\right )^2}}\)
 \[\displaystyle{\sqrt{\pi^4\cos^2\left (\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\pi^4}{4}\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)}=}\] \[\displaystyle{=\pi^2\sqrt{\left (\frac{\sqrt{2}}{2}\right )^2+\frac{1}{4}\cdot \left (\frac{\sqrt{2}}{2}\right )^2}=}\] \[\displaystyle{=\pi^2\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{4}}=\pi^2\sqrt{\frac{10}{16}}=\pi^2\frac{\sqrt{10}}{4}}\] 
\(\displaystyle{a_1=\pi^2\frac{\sqrt{10}}{4}\approx7,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Wartość przyspieszenia w czasie \(4\,\mathrm{s}\) wynosi:
\(\displaystyle{a_2=\sqrt{a_{2x}^2+a_{2y}^2}=\sqrt{\left (\pi^2\cos\left (\frac{\pi}{2}\cdot4\right)\right )^2+ \left (\frac{\pi^2}{2}\sin\left (\frac{\pi}{2}\cdot4\right)\right )^2}}\)
 \[\displaystyle{\sqrt{\pi^4\cos^2\left (2\pi\right)+\frac{\pi^4}{4}\sin^2\left(2\pi\right)}=}\] \[\displaystyle{=\pi^2\sqrt{1+\frac{1}{4}\cdot 0}=\pi^2}\] 
\(\displaystyle{a_2=\pi^2\approx9,87\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Odpowiedź

Prędkość w czasie \(0,5\,\mathrm{s}\) wynosi: \(\displaystyle{v_1=\pi\frac{\sqrt{10}}{2}\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\), natomiast w czwartej sekundzie ruchu cząstka posiada prędkość \(\displaystyle{v_2=\pi\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\).
Przyspieszenie w czasie \(0,5\,\mathrm{s}\) wynosi: \(\displaystyle{a_1=\pi^2\frac{\sqrt{10}}{4}\approx7,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\), natomiast w czwartej sekundzie ruchu przyspieszenie cząstki wynosi \(\displaystyle{a_2=\pi^2\approx9,87\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\).