Zadanie 3.5.2.5
  1. Kurs obliczeniowy z fizyki
  2. 3. Zasady dynamiki
  3. 3.5. Statyka
  4. 3.5.2 Trening
  5. Zadanie 3.5.2.5

 Zadanie 3.5.2.5

Ręka z odważnikiem
Oblicz wartość siły, z jaką działa mięsień ramienia, gdy w dłoni trzymany jest odważnik o masie \(M=10\,\mathrm{kg}\), w przypadku, kiedy ręka jest zgięta pod kątem \(\alpha_1= 90^{\circ}\) oraz \(\alpha_2= 150^{\circ}\). Założenia: masa przedramienia razem z dłonią wynosi \(3\,\mathrm{kg}\), punkt przyłożenia siły mięśnia jest oddalony od stawu o \(5\,\mathrm{cm}\), środek ciężkości przedramienia z dłonią jest oddalony od stawu o \(15\,\mathrm{cm}\), odległość dłoni od stawu wynosi \(35\,\mathrm{cm}\).

 Rysunek

Rysunek

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- masa odważnika \(M=10\,\mathrm{kg}\),
- masa przedramienia razem z dłonią \(m=3\,\mathrm{kg}\),
- kąt zgięcia ręki w pozycji pierwszej \(\alpha_1= 90^{\circ}\),
- kąt zgięcia ręki w pozycji drugiej \(\alpha_2= 150^{\circ}\),
- oddalenie punktu przyłożenia siły mięśnia od stawu \(x_1=0,05\,\mathrm{m}\),
- oddalenie środka ciężkości przedramienia z dłonią \(x_2=0,15\,\mathrm{m}\),
- oddalenie środka ciężkości przedramienia z dłonią \(x_3=0,35\,\mathrm{m}\),
- przyspieszenie grawitacyjne \(\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).

Szukane:
- wartość siły, z jaką działa mięsień ramienia w przypadku, gdy ręka jest zgięta pod kątem \(\alpha_1\): \(F_{m1}\),
- wartość siły, z jaką działa mięsień ramienia w przypadku, gdy ręka jest zgięta pod kątem \(\alpha_2\): \(F_{m2}\).

Odpowiedź

Mięsień ramienia działa z siłą \(F_m=790\,\mathrm{N}\), niezależnie od kąta zgięcia ręki.

Polecenie

Oblicz wartość siły, z jaką działa mięsień ramienia w przypadku, gdy ręka jest zgięta pod kątem \(\alpha_1\). Wybierz jedną prawidłową wartość, spośród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(F_{m1}=790\,\mathrm{N}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 4

\(F_{m1}=800\,\mathrm{N}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(F_{m1}=810\,\mathrm{N}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(F_{m1}=820\,\mathrm{N}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Rozrysujmy siły, jakie działają podczas trzymania ciężarka.

Rysunek


Siła \(\vec{F_k}\) jest siłą wywieraną przez kość ramienia. Wartości tej siły nie znamy, więc najwygodniej będzie przyjąć, że siła ta leży na osi obrotu. W zadaniu tym najprościej jest zastosować warunek zerowania się momentu siły. Na powyższym rysunku, po prawej stronie, pokazano uproszczony schemat działania sił. Na jego podstawie mamy:

\(F_{m1}\cdot x_1-mg\cdot x_2-Mg\cdot x_3=0\)

\(\displaystyle{F_{m1}= \frac{g(m\cdot x_2+M\cdot x_3)}{x_1} }\)

\(\displaystyle{F_{m1}= \frac{10\cdot (3\cdot 0,15+10\cdot 0,35)}{0,05}=790\,\mathrm{N} }\)

Polecenie

Oblicz wartość siły, z jaką działa mięsień ramienia w przypadku, gdy ręka jest zgięta pod kątem \(\alpha_2\). Wybierz jedną prawidłową wartość, spośród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(F_{m1}=790\,\mathrm{N}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 4

\(F_{m1}=800\,\mathrm{N}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(F_{m1}=810\,\mathrm{N}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(F_{m1}=820\,\mathrm{N}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

W tym przypadku ręka trzymana jest pod innym kątem. Punkty przyłożenia siły pozostają te same. Na rysunku poniżej pokazano uproszczony schemat działania sił.

Rysunek


Część ręki, na którą działają siły, jest obrócona, w stosunku do poprzedniej sytuacji, o kąt \(\beta=150^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}\). Na uproszczonym schemacie zaznaczono składowe działających sił \(\vec{F_1}\), \(\vec{F_2}\) oraz \(\vec{F_3}\) skierowane pionowo w stosunku do przedramienia. Podobnie, jak poprzednio, przyjęliśmy, że siła \(\vec{F_k}\) wywierana przez kość ramienia leży na osi obrotu.
Z warunku równowagi momentów sił mamy:

\(\vec{F_1}\cdot x_1+\vec{F_2}\cdot x_2+\vec{F_3}\cdot x_3=0\)

\(F_1\cdot x_1-F_2\cdot x_2-F_3\cdot x_3=0\)

Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych mamy:

\(F_{m2}\cos60^{\circ}\cdot x_1-mg\cos60^{\circ}\cdot x_2-Mg\cos60^{\circ}\cdot x_3=0\)

\(F_{m2}\cdot x_1-mg\cdot x_2-Mg\cdot x_3=0\)

\(\displaystyle{F_{m2}= \frac{g(m\cdot x_2+M\cdot x_3)}{x_1} }\)

\(\displaystyle{F_{m2}= \frac{10\cdot (3\cdot 0,15+10\cdot 0,35)}{0,05}=790\,\mathrm{N} }\)

Odpowiedź

Mięsień ramienia działa z siłą \(F_m=790\,\mathrm{N}\), niezależnie od kąta zgięcia ręki.