Analiza sytuacji

Pomiędzy zsuwającym się klockiem a rynną nie działa siła tarcia, dlatego do rozwiązania zadania skorzystamy z zasady zachowania energii mechanicznej klocka. Ruch klocka wzdłuż pętli jest ruchem krzywoliniowym po okręgu. Rozpatrzmy ten ruch w inercjalnym układzie odniesienia. Zakrzywienie toru związane jest z działaniem na klocek siły dośrodkowej. Siła ta jest wypadkową siły ciężkości – przypadek a) lub jego składowej – przypadek b) oraz siły reakcji podłoża (rynny), której wartość jest równa wartości siły nacisku klocka na rynnę. Aby klocek nie oderwał się od rynny, siła nacisku klocka na rynnę musi być większa od zera. W momencie odrywania się klocka od rynny siła nacisku jest równa zero.

Rozwiązanie a)

Sytuację opisaną w zadaniu przedstawia rysunek.

Klocek ześlizgując się z wysokości $H_1$ zamienia swoją energię potencjalną najpierw na kinetyczną, a następnie znów częściowo energię kinetyczną na energię potencjalną. Gdy klocek znajduje się w najwyższym punkcie pętli mamy:


gdzie $v_1$ oznacza prędkość w najwyższym punkcie pętli.
Dzieląc obustronnie przez $mg$ otrzymujemy:


W najwyższym punkcie siła nacisku $N$ jest równa zero, a co za tym idzie, wartość siły reakcji $R$ podłoża również wynosi zero, czyli wypadkowa siła, pełniąca rolę siły dośrodkowej, jest to siła ciężkości o wartości $mg$.
Korzystając z definicji siły dośrodkowej mamy: Z równania tego otrzymujemy
Taką wartość prędkości musi mieć klocek, aby siła nacisku na rynnę była równa zero. Przy większych prędkościach klocek będzie naciskał na rynnę, przy mniejszych wcześniej od niej odpadnie.

Wyznaczmy teraz wysokość, z jakiej musi zsuwać się klocek, aby w najwyższym punkcie pętli wartość jego prędkości była równa $v_1$. Do wyprowadzonej wcześniej formuły na $H_1$ podstawiamy prędkość i mamy

Rozwiązanie b)

Sytuację opisaną w zadaniu dla przypadku b) przedstawia rysunek.

Klocek ześlizgując się z wysokości $H_2$ zamienia swoją energię potencjalną najpierw na kinetyczną, a następnie znów częściowo energię kinetyczną na energię potencjalną. Gdy klocek znajduje się na wysokości $h$, z prawa zachowania energii mamy:


gdzie $v_2$ - prędkość na wysokości $h$. Stąd


Wyznaczmy teraz prędkość $v_2$ taką, że na wysokości $h$ następuję oderwanie się klocka od pętli. Na tej wysokości rolę siły dośrodkowej spełnia składowa siły ciężkości do środka pętli $mg\sin\alpha$ (patrz rysunek), gdyż siła reakcji pętli jest równa zero. Korzystając z definicji siły dośrodkowej mamy:

Po postawieniu do wzoru na $H_2$ otrzymujemy


Na powyższym rysunku został narysowany trójkąt pomocniczy, który ułatwia zapisanie zależności $\displaystyle{\sin\alpha=\frac{h-r}{r} }$. Po podstawieniu i kilku  przekształceniach   $$\displaystyle{H_2=h+\frac{r\cdot \frac{h-r}{r}}{2}}$$ $$\displaystyle{H_2=h+\frac{h-r}{2}}$$ $$\displaystyle{H_2=\frac{2h}{2}+\frac{h-r}{2}}$$   otrzymujemy