Zadanie 4.3.2.3
  1. Kurs obliczeniowy z fizyki
  2. 4. Praca, moc, energia, pęd
  3. 4.3. Pola sił
  4. 4.3.2 Trening
  5. Zadanie 4.3.2.3

 Zadanie 4.3.2.3

Siła zachowawcza
Z dwóch podanych sił wybierz siłę zachowawczą, a następnie znajdź odpowiadającą jej energię potencjalną. \(\displaystyle{\vec{F}_1=\left (xz^3-y,\;-3x-12yz,\;9xz^2-6y^2 \right )}\), \(\displaystyle{\vec{F}_2=\left (3xz^3-3y,\;-3x-12yz,\;\frac{9}{2}x^2z^2-6y^2 \right )}\).

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- zależność określająca siłę \(\displaystyle{\vec{F}_1=\left (xz^3-y,\;-3x-12yz,\;9xz^2-6y^2 \right )}\),
- zależność określająca siłę \(\displaystyle{\vec{F}_2=\left (3xz^3-3y,\;-3x-12yz,\;\frac{9}{2}x^2z^2-6y^2 \right )}\).

Szukane:
- funkcja określająca energie potencjalną \(E(x,y,z)\).

Odpowiedź

Siła \(\vec{F}_2\) jest siłą zachowawczą, a funkcja określająca energie potencjalną ma postać \(\displaystyle{E(x,y,z)=-\frac{3}{2}x^2z^3+3xy+6y^2z+C_0}\).

Polecenie

Która z sił jest siłą zachowawczą? Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Stwierdzenie 1 z 2

\(\displaystyle{\vec{F}_1=\left (xz^3-y,\;-3x-12yz,\;9xz^2-6y^2 \right )}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Stwierdzenie 2 z 2

\(\displaystyle{\vec{F}_2=\left (3xz^3-3y,\;-3x-12yz,\;4,5x^2z^2-6y^2 \right )}\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Siła \(\vec{F}\) jest zachowawczą wtedy i tylko wtedy, gdy \(\mathrm{rot}\,\vec{F}=0\). Należy więc dokonać obliczenia rotacji dla wektora podanego w zadaniu.

\(\mathrm{rot}\,\vec{F}_2=\begin{vmatrix}\vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\ \large{\frac{\partial }{\partial x}}&\large{\frac{\partial }{\partial y}}&\large{\frac{\partial }{\partial z}} \\ (3xz^3-3y)&(-3x-12yz)& (4,5x^2z^2-6y^2) \end{vmatrix}\)

\(\displaystyle{\mathrm{rot}\,\vec{F}_2=\vec{i}\left [ \frac{\partial }{\partial y}(\frac{9}{2}x^2z^2-6y^2)-\frac{\partial }{\partial z}(-3x-12yz) \right ]+}\)

\(\displaystyle{+\vec{j}\left [ \frac{\partial }{\partial z}(3xz^3-3y)-\frac{\partial }{\partial x}(\frac{9}{2}x^2z^2-6y^2) \right ]+}\)

\(\displaystyle{+\vec{k}\left [ \frac{\partial }{\partial x}(-3x-12yz)-\frac{\partial }{\partial y}(3xz^3-3y) \right ]=}\)

\(=\vec{i}(-12y+12y)+\vec{j}(9xz^2-9xz^2)+\vec{k}(-3+3)=0\)

Ponieważ \(\mathrm{rot}\,\vec{F}_2=0\), więc siła \(\vec{F}_2\) jest siła zachowawczą i można dla niej wyznaczyć energię potencjalną.

Polecenie

Funkcja określająca energie potencjalną dla siły \(\vec{F}_2\) ma postać \(\displaystyle{E(x,y,z)=a\cdot x^2z^3+b\cdot x^2z+c\cdot yx+d\cdot y^2z+C_0}\). Wybierz jeden prawidłowy zestaw współczynników \(a,\;b,\;c,\;d\), wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(a=0\)
\(b=3\)
\(c=6\)
\(d=4,5\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(a=-1,5\)
\(b=4,5\)
\(c=6\)
\(d=3\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(a=6\)
\(b=3\)
\(c=9\)
\(d=0\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(a=-1,5\)
\(b=0\)
\(c=3\)
\(d=6\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Energię potencjalną wyznaczymy z zależności \(\vec{F}=-\mathrm{grad}\,E\). Rozpiszmy zależność na poszczególne składowe.

\(\displaystyle{F_x=-\frac{\partial E}{\partial x}}\), \(\displaystyle{F_y=-\frac{\partial E}{\partial y}}\), \(\displaystyle{F_z=-\frac{\partial E}{\partial z}}\)

Rozpoczniemy obliczenia od pierwszej składowej.

\(\displaystyle{3xz^3-3y=-\frac{\partial E}{\partial x}}\)
\(\displaystyle{E=\int(-3xz^3+3y)\,\mathrm{d}x}\)
\(\displaystyle{E=-\frac{3}{2}x^2z^3+3xy+C(y,z)}\)
 \[\displaystyle{\int x^n=\frac{1}{n+1}\,x^{n+1}+C,\;\,n\neq -1}\] 
\(C(y,z)\) oznacza nieznana nam część energii potencjalnej zależną tylko od współrzędnych \(y\) i \(z\).

Dla składowej \(y\) mamy
\(\displaystyle{F_y=-\frac{\partial E}{\partial y}}\)

Podstawmy teraz znane zależności

\(\displaystyle{-3x-12yz=-\frac{\partial }{\partial y} [-\frac{3}{2}x^2z^3+3xy+C(y,z)]}\)
\(\displaystyle{3x+12yz=3x+\frac{\partial }{\partial y} C(y,z)}\)
\(\displaystyle{12yz=\frac{\partial }{\partial y} C(y,z)}\)
\(\displaystyle{C(y,z)=\int 12yz\,\mathrm{d}y}\)
\(C(y,z)=6y^2z+C(z)\)

\(C(z)\) oznacza część szukanej funkcji \(E(x,y,z)\), mogącą już tylko zależeć od współrzędnej \(z\). Korzystając teraz z ostatniej zależności \(\displaystyle{F_z=-\frac{\partial E}{\partial z}}\) otrzymujemy równanie

\(\displaystyle{\frac{9}{2}x^2z^2-6y^2=-\frac{\partial }{\partial z} [-\frac{3}{2}x^2z^3+3xy+6y^2z+C(z)]}\)
\(\displaystyle{\frac{9}{2}x^2z^2-6y^2=\frac{9}{2}x^2z^2-6y^2-\frac{\partial }{\partial z} C(z)}\)
\(\displaystyle{0=\frac{\partial }{\partial z} C(z)}\)

Stąd wynika, że \(C(z)=C_0=const\) i ostatecznie szukana energia potencjalna wyrażona jest funkcją

\(\displaystyle{E(x,y,z)=-\frac{3}{2}x^2z^3+3xy+6y^2z+C_0}\)

Odpowiedź

Siła \(\vec{F}_2\) jest siłą zachowawczą, a funkcja określająca energie potencjalną ma postać \(\displaystyle{E(x,y,z)=-\frac{3}{2}x^2z^3+3xy+6y^2z+C_0}\).