Zadanie 4.4.1.4

Zderzenie niesprężyste

Kloc drewniany o masie

$4\,\mathrm{kg}$ spada z wysokości

$10\,\mathrm{m}$ . W połowie wysokości zostaje trafiony poziomo lecącym pociskiem, który wbija się weń niesprężyście. Masa pocisku wynosi

$0,01\,\mathrm{kg}$ , a jego prędkość wynosi

$\displaystyle{500\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$ . Oblicz wartość prędkości kloca w momencie upadku na Ziemię.

Wskazówka teoretyczna

Teoria - zasada zachowania pędu

Zasada zachowania pędu.
Pęd zamkniętego układu ciał nie zmienia się z upływem czasu.

$\displaystyle{\frac{\mathrm{d}\vec{p} }{\mathrm{d} t}=0}$

czyli

$\vec{p}=const$

Zasadę te można też zapisać jako:
Suma pędów wszystkich ciał układu w momencie początkowym równa się sumie pędów tych ciał w dowolnym momencie późniejszym.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- masa drewnianego kloca $M=4\,\mathrm{kg}$ ,
- masa pocisku $m=0,01\,\mathrm{kg}$ ,
- prędkość pocisku $\displaystyle{v_1=500\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$ ,
- wysokości, z jakiej spada kloc $h=10\,\mathrm{m}$ ,
- przyspieszenie ziemskie $\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }$ .

Szukane:
- wartość prędkości kloca w momencie upadku na Ziemię $u$ .

Analiza sytuacji

Przy założeniu, że siła oporu działająca na kloc podczas spadku jest zaniedbywanie mała, na kloc działa jedynie pionowo w dół siła ciężkości. Powoduje ona jego ruch jednostajnie przyspieszony. Zderzenie całkowicie niesprężyste zachodzi w kierunku poziomym, w którym nie działa żadna siła zewnętrzna, dlatego do opisu zderzenia możemy zastosować zasadę zachowania poziomej składowej pędu układu.

Opis matematyczny

Sytuację w chwili tuż przed trafieniem przez pocisk i w chwili tuż przed spadkiem kloca na Ziemię, z wbitym w kloc pociskiem, przedstawiono na rysunku w dwuwymiarowym układzie współrzędnych $x\,y$ , gdzie oś $x$ skierowana jest poziomo, zgodnie z kierunkiem ruchu pocisku przed uderzeniem w kloc, a oś $y$ - pionowo w górę. Na rysunkach prędkości pocisku i kloca oraz składowe pionowe i poziome są reprezentowane przez ich wartości bezwzględne.

Tuż przed zderzeniem pocisk ma, skierowaną poziomo, prędkość $v_1$ , a kloc prędkość $v_2$ , uzyskaną ze swobodnego spadku skierowaną pionowo w dół. Prędkość $v_2$ możemy otrzymać z zasady zachowania energii. Przyjmując, że na poziomie Ziemi energia potencjalna jest równa zeru, mamy:

$\displaystyle{Mgh=\frac{Mv_2^2}{2}+Mg\frac{h}{2} }$

Po zderzaniu kloc z wbitym pociskiem uzyskuje dodatkową prędkość poziomą

$v_1$ , którą otrzymamy z zasady zachowania pędu dla kierunku

$x$ . Mamy:

$\sum p_x=mv_1=(M+m)\,u_1$

$u_1$ i

$u_2$ są składowymi poziomą i pionowa wektora

$u$ .

Rozwiązanie

Z pierwszego równania możemy wyznaczyć prędkość $v_2$

$\displaystyle{gh=\frac{v_2^2}{2}+g\frac{h}{2} }$

$2gh=v_2^2+gh$

$v_2=\sqrt{gh}$

$v_2=\sqrt{10\cdot 10}$

$\displaystyle{\left [ \sqrt{\frac{m}{s^2}\cdot m}=\frac{m}{s} \right ]}$

$\displaystyle{v_2=10\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$

Prędkość

$u_1$ uzyskamy, zaś z równania drugiego

$\displaystyle{u_1=\frac{mv_1}{M+m}}$

$\displaystyle{u_1=\frac{0,01}{4+0,01}\cdot 500 }$

$\displaystyle{\left [ \frac{kg}{kg}\cdot \frac{m}{s}=\frac{m}{s} \right ] }$

$\displaystyle{u_1=1,25\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$

Ponieważ po zderzeniu na kloc nie działają żadne siły poziome, uzyskana prędkość pozioma pozostaje stała. Końcową prędkość

$u$ kloca z wbitym pociskiem uzyskamy, stosując zasadę zachowania energii dla klocka z pociskiem. Mamy:

$\displaystyle{\frac{(M+m)(v_2^2+u_1^2)}{2}+(M+m)\,g\,\frac{h}{2}=\frac{(M+m)u^2}{2} }$

Po przemnożeniu przez

$\displaystyle{\frac{2}{M+m}}$ otrzymujemy

$v_2^2+u_1^2+gh=u^2$

$u=\sqrt{v_2^2+u_1^2+gh}$

$u=\sqrt{10^2+1,25^2+10\cdot 10}$

$\displaystyle{u=14,2\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$

Odpowiedź

Wartość prędkości kloca w momencie upadku na Ziemię wynosi $\displaystyle{u=14,2\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$ .

Zadanie 4.4.1.3

Zadanie 4.4.1.5

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta