Zadanie 4.4.2.3
Informacja
Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.
Dane i szukane
Dane:
- masa neutronu \(m_1\),
- masa jądra wodoru \(m_2=12\,m_1\).
Szukane:
- część energii kinetycznej, jaką straci neutron w zderzeniu \(\varepsilon\).
Odpowiedź
Strata energii kinetycznej, jaką utraci neutron w zderzeniu sprężystym centralnym z jądrem atomowym węgla, wynosi \(\varepsilon=28,4\,\%\).
Polecenie
Napisz zasadę zachowania pędu i energii dla cząstek biorących udział w zderzeniu. Wybierz z dwóch jeden zestaw równań, który uważasz za prawidłowy.
Zgodnie z treścią zadania, zderzenie neutronu z jądrem atomowym węgla jest doskonale sprężyste, dlatego energia kinetyczna układu jest stała. Oznacza to, że w wyniku zderzenia proton stracił część swojej energii, przekazując ją jadru węgla. Do rozwiązania zadania, możemy zastosować zasadę zachowania pędu i energii mechanicznej. Zasadę zachowania pędu zastosujemy w postaci skalarnej, gdyż zderzenie jest centralne.
\(\displaystyle{\frac{1}{2}m_1v_1^2=\frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_2u_2^2 }\)
\(\displaystyle{\frac{1}{2}m_1v_1^2=\frac{1}{2}m_1u_1^2+\frac{1}{2}m_1u_2^2 }\)
Gdzie \(u_1\) i \(u_2\) są wartościami prędkości neutronu i jądra węgla po zderzeniu. W równaniu na zasadę zachowania pędu założyliśmy, że wektor prędkości neutronu po zderzaniu z jądrem węgla jest skierowany w lewo (składowa \(x\)–owa wynosi \(-u_1\) ). Innymi słowy przewidujemy, że neutron odbije się od cięższego jądra. Gdyby nasze przewidywanie było fałszywe i neutron zachowa swój kierunek prędkości to z obliczeń otrzymamy, że \(u_1< 0\).
Polecenie
Wyznacz wartość \(u_1\). Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.
\(\displaystyle{u_1=\frac{1}{12}v_1 }\)
\(\displaystyle{u_1=\frac{11}{13}v_1 }\)
Rozwiązanie
Z zasady zachowania pędu (dla kierunku \(x\)) i energii (kinetycznej) otrzymaliśmy równania
Przekształćmy oba powyższe równania tak aby masa \(m_1\) była po lewej, a masa \(m_2\) po prawej stronie równań. Otrzymujemy układ równań:
Po podzieleniu równań stronami, przy warunku, że \(v_1\) jest różne od \(u_1\) i \(u_2\) jest różne od zera, otrzymamy równanie liniowe postaci:
\[\displaystyle{\frac{u_2^2}{u_2}=\frac{m_1\left ( v_1^2-u_1^2\right )}{m_1\left ( v_1+u_1\right )}=\frac{\left ( v_1-u_1\right )\left ( v_1+u_1\right )}{\left ( v_1+u_1\right )} }\]
Równanie to razem z pierwszym równaniem układu (z zasady zachowania pędu) da nam układ dwóch równań liniowych na \(u_1\) i \(u_2\). Ponieważ w dalszym ciągu będzie nas interesowała strata energii kinetycznej neutronu, która wyraża się przez prędkości początkową \(v_1\) i końcową \(u_2\), dlatego z układu równań wyznaczymy jedynie \(u_1\). Otrzymujemy po przekształceniach, że wartość prędkości neutronu po zderzeniu wynosi
\[m_2\left (v_1-u_1 \right ) =m_1\left (v_1+u_1 \right ) \] \[m_2v_1-m_2u_1=m_1v_1+m_1u_1\] \[m_2v_1-m_1v_1=m_1u_1+m_2u_1 \] \[v_1\left (m_2-m_1 \right )=u_1\left (m_2+m_1 \right ) \]
Po podstawieniu \(m_2=12\,m_1\), mamy
Polecenie
Wyznacz stratę energii kinetycznej, jaką straci neutron w zderzeniu sprężystym centralnym z jądrem atomowym węgla. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.
Rozwiązanie
Oznaczając energię kinetyczną neutronu przed zderzeniem jako \(E_k\), a po zderzaniu, jako \(E_{k1}\) mamy:
\(\displaystyle{E_{k1}=\frac{1}{2}m_1u_1^2=\frac{1}{2}m_1\left ( \frac{11}{13} \right )^2v_1^2 }\)
Szukana strata energii wyraża się wzorem:
Odpowiedź
Strata energii kinetycznej, jaką utraci neutron w zderzeniu sprężystym centralnym z jądrem atomowym węgla, wynosi \(\varepsilon=28,4\,\%\).
Otrzymany wynik ma charakter praktyczny. W reaktorach jądrowych konieczne jest spowalnianie neutronów powstałych z rozszczepienia ciężkich jąder. W tym celu stosuje się tzw. moderatory, czyli substancję spowalniającą neutrony. Spowalnianie następuje na skutek zderzeń neutronów z jądrami moderatora. Najczęstszym moderatorem jest węgiel w postaci grafitu.