Zadanie 5.1.1.4

 Zadanie 5.1.1.4

Środek masy stożka
Wyznacz położenie środka masy stożka prostego o wysokości \(h\).

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - środek masy ciała
Wektor położenia środka masy ciała definiujemy jako

\(\displaystyle{\vec{r}_s=\frac{1}{M}\int_{M} \vec{r}\mathrm{d}m }\),

gdzie \(\vec{r}_i\) oznacza wektor położenia elementu masy \(\mathrm{d}m\), a \(M\) jest masą całkowitą ciała.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- wysokość stożka \(h\).

Szukane:
- środek masy stożka \(x_s\).

Analiza sytuacji

Dla danego ciała, współrzędne jego środka masy wyznaczamy obliczając następujące całki

\(\displaystyle{x_0=\frac{1}{M}\int_{M} x\,\mathrm{d}m }\),   \(\displaystyle{y_0=\frac{1}{M}\int_{M} y\,\mathrm{d}m }\),   \(\displaystyle{z_0=\frac{1}{M}\int_{M} z\,\mathrm{d}m }\)

gdzie \(M\) oznacza masę ciała, natomiast \(\mathrm{d}m\) jest masą nieskończenie małego elementu ciała, mającego współrzędne \(\left ( x,y,z\right )\).

Rysunek


Na rysunku przedstawiono przecięcie stożka wzdłuż jego osi. Środek masy, tak przedstawionego stożka, leży na osi \(x\), ponieważ oś ta jest osią symetrii stożka. Tak więc \(y_s=z_s=0\).

Stożek dzielimy na cienkie plasterki i rozpatrujemy dowolny plaster o promieniu \(b\) i grubości \(\mathrm{d}x\) odległych od wierzchołka o \(x\). Na podstawie rysunku możemy napisać

\(\displaystyle{\frac{b}{a}=\frac{x}{h} }\)

\(\displaystyle{b=\frac{ax}{h} }\)

Jeżeli założymy, że gęstość materiału, z którego wykonano stożek, wynosi \(\rho\), to

\(\mathrm{d}m=\rho\,\mathrm{d}V=\rho\,\pi b^2\mathrm{d}x\)

Masa plasterka \(\mathrm{d}m\) wynosi

\(\displaystyle{\mathrm{d}m=\rho\,\pi b^2\mathrm{d}x=\rho\,\pi \left (\frac{ax}{h} \right )^2\mathrm{d}x }\)

Całkowita masa stożka \(M\) to wartość całki

\(\displaystyle{M=\int_{M} \mathrm{d}m }\)

Obliczenia

Środek masy stożka wynosi:

\(\displaystyle{x_0=\frac{\int_{M} x\,\mathrm{d}m }{\int_{M} \mathrm{d}m} }\)

\(\displaystyle{x_0=\frac{\pi\rho\int_{0}^{h} x\left (\frac{ax}{h} \right )^2\,\mathrm{d}x}{ \pi\rho\int_{0}^{h} \left (\frac{ax}{h} \right )^2\,\mathrm{d}x} }\)

\(\displaystyle{x_0=\frac{\int_{0}^{h} x^3\,\mathrm{d}x}{ \int_{0}^{h} x^2\,\mathrm{d}x} }\)

\(\displaystyle{x_0=\frac{\left [\frac{1}{4}x^4\right ]_0^h}{\left [\frac{1}{3}x^3\right ]_0^h}=\frac{3}{4}h }\)
 

Odpowiedź

Środek masy stożka wynosi \(\displaystyle{x_0=\frac{3}{4}h }\).