Processing math: 100%
Zadanie 5.1.2.5

 Zadanie 5.1.2.5

Środek masy wydrążonej kulii
Znajdź środek masy jednorodnej kuli o promieniu r1=50cm, w której wnętrzu znajduje się kuliste wydrążenie o promieniu r2=20cm, przy czym środek kuli mniejszej położony jest w punkcie o współrzędnych D=(4,3)cm, a kuli większej S=(0,0).

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- promień dużej kuli r1=50cm,
- promień małej kuli r2=20cm,
- odległość mniejszej kuli od środka kuli większej x0=4cm i y0=3cm.

Szukane:
- środek masy kuli wydrążonej Rs=(x1,y1).

Odpowiedź

c

Polecenie

Wyznacz zależność pozwalającą na obliczenie współrzędnej x1 środka masy. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

x1=r32r31r32x0

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 4

x1=r32r31r32x0

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

x1=r32r31x0

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

x1=r31r32r32x0

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Pełna kula o promieniu r1 składa się z małej kuli o promieniu r2 i masie m2 oraz dużej kuli o promieniu r1 z wydrążeniem i masie m1.

Rysunek


Dla pełnej kuli środek masy ma (w układzie współrzędnych pokazanym na rysunku) współrzędne

xs=0=x1m1+x0m2m1+m2,    ys=y1m1+y0m2m1+m2,    zs=0,

przy czym (x1,y1) oznaczają współrzędne środka masy kuli z wydrążeniem, natomiast (x0,y0) oznacza współrzędne środka masy małej kuli, którą usuwamy, tworząc wydrążenie.
Dla współrzędnej xs mamy:

0=x1m1+x0m2m1+m2

0=x1m1+x0m2

x1=m2m1x0

Teraz wyznaczmy masę m2. Zakładamy, że gęstość materiału kuli wynosi ρ, wtedy

m2=V2ρ=43πr32ρ

Masa m1 równa jest różnicy masy całej pełnej kuli i wydrążenia.

m1=43πr31ρ43πr32ρ=43πρ(r31r32)

Współrzędna środka masy wynosi

x1=43πρr3243πρ(r31r32)x0

x1=r32r31r32x0

Polecenie

Oblicz współrzędne środka masy. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

rs=(1621,1221)cm

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 2

rs=(32117,24117)cm

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Współrzędna x1 wynosi

x1=203503203(4)

x1=32117cm
Współrzędna y1 wynosi

y1=2035032033

y1=24117cm

Odpowiedź

Środek masy wydrążonej kuli ma współrzędne rs=(32117,24117)cm.