Zadanie 5.1.2.5

Środek masy wydrążonej kulii

Znajdź środek masy jednorodnej kuli o promieniu

$r_1=50\,\mathrm{cm}$ , w której wnętrzu znajduje się kuliste wydrążenie o promieniu

$r_2=20\,\mathrm{cm}$ , przy czym środek kuli mniejszej położony jest w punkcie o współrzędnych

$D=(-4,3)\,\mathrm{cm}$ , a kuli większej

$S=(0,0)$ .

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- promień dużej kuli $r_1=50\,\mathrm{cm}$ ,
- promień małej kuli $r_2=20\,\mathrm{cm}$ ,
- odległość mniejszej kuli od środka kuli większej $x_0=-4\,\mathrm{cm}$ i $y_0=3\,\mathrm{cm}$ .

Szukane:
- środek masy kuli wydrążonej $R_s=(x_1,y_1)$ .

Odpowiedź

Polecenie

Wyznacz zależność pozwalającą na obliczenie współrzędnej $x_1$ środka masy. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

$\displaystyle{x_1=-\frac{r_2^3}{r_1^3-r_2^3}\cdot x_0}$

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 4

$\displaystyle{x_1=\frac{r_2^3}{r_1^3-r_2^3}\cdot x_0}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

$\displaystyle{x_1=-\frac{r_2^3}{r_1^3}\cdot x_0}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

$\displaystyle{x_1=\frac{r_1^3-r_2^3}{r_2^3}\cdot x_0}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Pełna kula o promieniu $r_1$ składa się z małej kuli o promieniu $r_2$ i masie $m_2$ oraz dużej kuli o promieniu $r_1$ z wydrążeniem i masie $m_1$ .

Dla pełnej kuli środek masy ma (w układzie współrzędnych pokazanym na rysunku) współrzędne

$\displaystyle{x_s=0=\frac{x_1m_1+x_0m_2}{m_1+m_2} }$ ,

$\displaystyle{y_s=\frac{y_1m_1+y_0m_2}{m_1+m_2} }$ ,

$z_s=0$ ,

przy czym

$(x_1,y_1)$ oznaczają współrzędne środka masy kuli z wydrążeniem, natomiast

$(x_0,y_0)$ oznacza współrzędne środka masy małej kuli, którą usuwamy, tworząc wydrążenie.
Dla współrzędnej

$x_s$ mamy:

$\displaystyle{0=\frac{x_1m_1+x_0\,m_2}{m_1+m_2} }$

$0=x_1m_1+x_0\,m_2$

$\displaystyle{x_1=-\frac{m_2}{m_1}x_0 }$

Teraz wyznaczmy masę

$m_2$ . Zakładamy, że gęstość materiału kuli wynosi

$\rho$ , wtedy

$\displaystyle{m_2=V_2\rho=\frac{4}{3}\pi r_2^3\rho }$

Masa

$m_1$ równa jest różnicy masy całej pełnej kuli i wydrążenia.

$\displaystyle{m_1=\frac{4}{3}\pi r_1^3\rho -\frac{4}{3}\pi r_2^3\rho=\frac{4}{3}\pi\rho\left (r_1^3-r_2^3\right ) }$

Współrzędna środka masy wynosi

$\displaystyle{x_1=-\frac{\frac{4}{3}\pi\rho r_2^3}{\frac{4}{3}\pi\rho\left (r_1^3-r_2^3\right )}x_0 }$

$\displaystyle{x_1=-\frac{r_2^3}{r_1^3-r_2^3}x_0 }$

Polecenie

Oblicz współrzędne środka masy. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

$\displaystyle{r_s=\left (\frac{16}{21},-\frac{12}{21} \right)\,\mathrm{cm}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 2

$\displaystyle{r_s=\left (\frac{32}{117},-\frac{24}{117} \right)\,\mathrm{cm}}$

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Współrzędna $x_1$ wynosi

$\displaystyle{x_1=-\frac{20^3}{50^3-20^3}\cdot (-4) }$

$\displaystyle{x_1=\frac{32}{117}\,\mathrm{cm} }$

Współrzędna

$y_1$ wynosi

$\displaystyle{y_1=-\frac{20^3}{50^3-20^3}\cdot 3 }$

$\displaystyle{y_1=-\frac{24}{117}\,\mathrm{cm} }$

Odpowiedź

Środek masy wydrążonej kuli ma współrzędne $\displaystyle{r_s=\left (\frac{32}{117},-\frac{24}{117} \right)\,\mathrm{cm}}$ .

Zadanie 5.1.2.4

5.1.3 Test

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta

Zadanie 5.1.2.5

Informacja

Dane i szukane

Odpowiedź

Polecenie

Rozwiązanie

Polecenie

Rozwiązanie

Odpowiedź