Zadanie 5.2.1.2
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 5. Dynamika układu punktów
  3. 5.2. Moment bezwładności
  4. 5.2.1 Nauka
  5. Zadanie 5.2.1.2

 Zadanie 5.2.1.2

Momenty bezwładności względem dwóch równoległych osi
Załóżmy, że znamy momenty bezwładności pewnej płaskiej bryły o masie \(m=0,8\,\mathrm{kg}\) względem dwóch równoległych osi leżących w jej (bryły) płaszczyźnie \(I_1=8\,\mathrm{kg\,m^2}\), \(I_2=12\,\mathrm{kg\,m^2}\). Odległość pomiędzy osiami wynosi \(L=1\,\mathrm{m}\). Ile wynosi moment bezwładności dla tej bryły względem osi równoległej do danych, ale przechodzących przez środek masy?

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - twierdzenie Steinera
Twierdzenie Steinera określa związek między momentami bezwładności względem dwóch równoległych osi oddalonych od siebie o \(d\) w sytuacji, gdy jedna z nich przechodzi przez środek masy bryły sztywnej:

\(I=I_0+md^2\),

gdzie \(m\) jest daną masą bryły sztywnej.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- masa bryły \(m=0,8\,\mathrm{kg}\),
- momenty bezwładności względem pierwszej osi \(I_1=8\,\mathrm{kg\,m^2}\),
- momenty bezwładności względem drugiej osi \(I_2=12\,\mathrm{kg\,m^2}\),
- odległość pomiędzy osiami \(L=1\,\mathrm{m}\).

Szukane:
- moment bezwładności dla tej bryły względem osi równoległej do danych, ale przechodzących przez środek masy \(I_0\).


Analiza sytuacji

Przesuwanie osi obrotu i zmiana momentu bezwładności opisywane jest przez tw. Steinera.
Moment bezwładności \(I_2\), jako większy, powinien znajdować się dalej od środka masy.

Rysunek


Na podstawie twierdzenia Steinera możemy napisać dwa równania, w których odległość od środka masy osi wyniesie odpowiednio \(d_1\) oraz \(d_2=d_1+L\). Stąd mamy układ dwóch równań

\(I_1=I_0+md_1^2\)

\(I_2=I_0+md_2^2=I_0+m(d_1+L)^2\)

Obliczenia

Rozwiązujemy otrzymany układ równań odejmując od siebie równania stronami. Otrzymujemy

\(I_1-I_2=md_1^2-m(d_1+L)^2\)

Obliczamy teraz z tego równania jedyną niewiadomą  \[I_1-I_2=md_1^2-md_1^2-m2d_1L-mL^2\] \[I_1-I_2=-2md_1L-mL^2\] \[2md_1L=I_2-I_1-mL^2\] 

\(\displaystyle{d_1=\frac{I_2-I_1}{2mL}-\frac{L}{2} }\)

\(\displaystyle{d_1=\frac{12-8}{2\cdot 0,8\cdot 1}-\frac{1}{2} }\)

\(d_1=2\,\mathrm{m}\),

a z jednego z równań np. z pierwszego znajdujemy szukany moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy

\(I_0=I_1-md_1^2\)

\(I_0=8-0,8\cdot 2^2\)

\(I_0=4,8\,\mathrm{kg\,m^2}\)

Odpowiedź

Moment bezwładności dla bryły względem osi równoległej do danych, ale przechodzących przez środek masy wynosi \(I_0=4,8\,\mathrm{kg\,m^2}\).