Zadanie 5.2.1.2

Momenty bezwładności względem dwóch równoległych osi

Załóżmy, że znamy momenty bezwładności pewnej płaskiej bryły o masie

$m=0,8\,\mathrm{kg}$ względem dwóch równoległych osi leżących w jej (bryły) płaszczyźnie

$I_1=8\,\mathrm{kg\,m^2}$ ,

$I_2=12\,\mathrm{kg\,m^2}$ . Odległość pomiędzy osiami wynosi

$L=1\,\mathrm{m}$ . Ile wynosi moment bezwładności dla tej bryły względem osi równoległej do danych, ale przechodzących przez środek masy?

Wskazówka teoretyczna

Teoria - twierdzenie Steinera

Twierdzenie Steinera określa związek między momentami bezwładności względem dwóch równoległych osi oddalonych od siebie o

$d$ w sytuacji, gdy jedna z nich przechodzi przez środek masy bryły sztywnej:

$I=I_0+md^2$ ,

gdzie

$m$ jest daną masą bryły sztywnej.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- masa bryły $m=0,8\,\mathrm{kg}$ ,
- momenty bezwładności względem pierwszej osi $I_1=8\,\mathrm{kg\,m^2}$ ,
- momenty bezwładności względem drugiej osi $I_2=12\,\mathrm{kg\,m^2}$ ,
- odległość pomiędzy osiami $L=1\,\mathrm{m}$ .

Szukane:
- moment bezwładności dla tej bryły względem osi równoległej do danych, ale przechodzących przez środek masy $I_0$ .

Analiza sytuacji

Przesuwanie osi obrotu i zmiana momentu bezwładności opisywane jest przez tw. Steinera.
Moment bezwładności $I_2$ , jako większy, powinien znajdować się dalej od środka masy.

Na podstawie twierdzenia Steinera możemy napisać dwa równania, w których odległość od środka masy osi wyniesie odpowiednio

$d_1$ oraz

$d_2=d_1+L$ . Stąd mamy układ dwóch równań

$I_1=I_0+md_1^2$

$I_2=I_0+md_2^2=I_0+m(d_1+L)^2$

Obliczenia

Rozwiązujemy otrzymany układ równań odejmując od siebie równania stronami. Otrzymujemy

$I_1-I_2=md_1^2-m(d_1+L)^2$

Obliczamy teraz z tego równania jedyną niewiadomą

$I_1-I_2=md_1^2-md_1^2-m2d_1L-mL^2$

$I_1-I_2=-2md_1L-mL^2$

$2md_1L=I_2-I_1-mL^2$

$\displaystyle{d_1=\frac{I_2-I_1}{2mL}-\frac{L}{2} }$

$\displaystyle{d_1=\frac{12-8}{2\cdot 0,8\cdot 1}-\frac{1}{2} }$

$d_1=2\,\mathrm{m}$ ,

a z jednego z równań np. z pierwszego znajdujemy szukany moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy

$I_0=I_1-md_1^2$

$I_0=8-0,8\cdot 2^2$

$I_0=4,8\,\mathrm{kg\,m^2}$

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta