Zadanie 5.2.2.2

Moment bezwładności trzech mas

Oblicz moment bezwładności powiązanych więzami trzech mas, które mogą obracać się razem wokół osi

$z$ .
Położenia i wartości mas:

$P_1=(5,0)\,\mathrm{m}$ , $m_1=3\,\mathrm{kg}$ ,
$P_2=(3,-3)\,\mathrm{m}$ , $m_2=5\,\mathrm{kg}$ ,
$P_3=(-4,2)\,\mathrm{m}$ , $m_3=8\,\mathrm{kg}$ .

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- $P_1=(5,0)\,\mathrm{m}$ , $m_1=3\,\mathrm{kg}$ ,
- $P_2=(3,-3)\,\mathrm{m}$ , $m_2=5\,\mathrm{kg}$ ,
- $P_3=(-4,2)\,\mathrm{m}$ , $m_3=8\,\mathrm{kg}$ .

Szukane:
- moment bezwładności $I$ .

Odpowiedź

Moment bezwładności powiązanych więzami trzech mas wynosi $I=325\,\mathrm{kg\cdot m^2}$ .

Polecenie

Oblicz kwadraty odległości poszczególnych mas od osi $z$ . Wybierz jeden prawidłowy zestaw wyników, spośród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

$r_1^2=5\,\mathrm{m^2}$

$r_2^2=0\,\mathrm{m^2}$

$r_3^2=2\,\mathrm{m^2}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

$r_1^2=25\,\mathrm{m^2}$

$r_2^2=18\,\mathrm{m^2}$

$r_3^2=20\,\mathrm{m^2}$

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 3 z 4

$r_1^2=5\,\mathrm{m^2}$

$r_2^2=9\,\mathrm{m^2}$

$r_3^2=8\,\mathrm{m^2}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

$r_1^2=50\,\mathrm{m^2}$

$r_2^2=33\,\mathrm{m^2}$

$r_3^2=42\,\mathrm{m^2}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Na podstawie wiedzy o wektorach w kartezjańskim układzie odniesienia znajdujemy kwadrat odległości od osi $z$ poszczególnych mas.

$r_i^2=x_i^2+y_i^2$

$r_1^2=x_1^2+y_1^2=5^2+0^2=25\,\mathrm{m^2}$

$r_2^2=x_2^2+y_2^2=3^2+(-3)^2=18\,\mathrm{m^2}$

$r_3^2=x_3^2+y_3^2=(-4)^2+2^2=20\,\mathrm{m^2}$

Polecenie

Oblicz moment bezwładności dla układu trzech mas. Wybierz jedną prawidłową odpowiedź, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

$I=325\,\mathrm{kg\cdot m^2}$

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

$I=3,25\,\mathrm{kg\cdot m^2}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Moment bezwładności punktu materialnego dla masy punktowej wyniesie

$I_i=r_i^2m_i$

Ponieważ moment bezwładności jest wielkością skalarną dodaje się jak skalary. W naszym przypadku daje to wynik

$\displaystyle{I=\sum_{i=1}^3 r_i^2m_i=\sum_{i=1}^3 (x_i^2+y_i^2)m_i }$

Proste obliczenia dadzą następujący wynik

$I=25\cdot 3+18\cdot 5+20\cdot 8$

$I=75+90+160=325\,\mathrm{kg\cdot m^2}$

Odpowiedź

Moment bezwładności powiązanych więzami trzech mas wynosi $I=325\,\mathrm{kg\cdot m^2}$ .

Zadanie 5.2.2.1

Zadanie 5.2.2.3

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta

Zadanie 5.2.2.2

Informacja

Dane i szukane

Odpowiedź

Polecenie

Rozwiązanie

Polecenie

Rozwiązanie

Odpowiedź