Zadanie 5.2.2.4
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 5. Dynamika układu punktów
  3. 5.2. Moment bezwładności
  4. 5.2.2 Trening
  5. Zadanie 5.2.2.4

 Zadanie 5.2.2.4

Moment bezwładności kuli
Wyznacz moment bezwładności jednorodnej kuli o promieniu \(R\) oraz masie \(M\) względem osi przechodzącej przez jej środek.

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- promień kuli \(R\),
- masa kuli \(M\).

Szukane:
- moment bezwładności jednorodnej kuli względem osi przechodzącej przez jej środek \(I\).

Odpowiedź

Wzór określający moment bezwładności kuli względem jej osi symetrii, ma postać: \(\displaystyle{I=\frac{2}{5}MR^2}\).

Polecenie

Wyznacz wzór ogólny na moment bezwładności we współrzędnych cylindrycznych. Wybierz jedną prawidłową odpowiedź, spośród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(\displaystyle{I=\int_{z_1}^{z_2}\mathrm{d}z\int_{r_1(z)}^{r_2(z)}\mathrm{d}r \int_{\varphi_1(z,r)}^{\varphi_2(z,r)}\mathrm{d}\varphi\,\rho r^3 }\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

\(\displaystyle{I=\int_{z_1}^{z_2}\mathrm{d}z\int_{r_1(z)}^{r_2(z)}\mathrm{d}r \int_{\varphi_1(z,r)}^{\varphi_2(z,r)}\mathrm{d}\varphi\,zr\varphi }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Przy wprowadzaniu współrzędnych cylindrycznych należy pamiętać, że element masy dla jednorodnej bryły wynosi

\(\mathrm{d}m=\rho r\,\mathrm{d}r,\mathrm{d}\varphi,\mathrm{d}z\),

tak więc całkę

\(\displaystyle{I=\int r^2\,\mathrm{d}m}\)

można zapisać jako

\(\displaystyle{I=\int_{z_1}^{z_2}\mathrm{d}z\int_{r_1(z)}^{r_2(z)}\mathrm{d}r \int_{\varphi_1(z,r)}^{\varphi_2(z,r)}\mathrm{d}\varphi\,\rho r^3 }\).

Polecenie

Zdefiniuj granice całkowania i zapisz (z ich uwzględnieniem) wzór na moment bezwładności. Wybierz jedną prawidłową odpowiedź, spośród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(\displaystyle{I=\int_{-R}^{R}\mathrm{d}z\int_{0}^{\sqrt{R^2-z^2}}\mathrm{d}r \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi\,\rho r^3 }\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

\(\displaystyle{I=\int_{0}^{R}\mathrm{d}z\int_{0}^{r}\mathrm{d}r \int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\varphi\,\rho r^3 }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Wykonanie rysunku ułatwi znalezienie granic całkowania

Rysunek


Na rysunku umieszczono właściwie przekrój osiowy kuli. Aby otrzymać kulę należy obrócić ten przekrój prostopadle do płaszczyzny rysunku, czyli widzimy, że współrzędna \(\varphi\) będzie zmieniać się od \(0\) do \(2\pi\). Z kolei granice całkowania dla \(r\) (współrzędna ta jest odległością punktu kuli od osi obrotu \(0Z\)) są powiązane ze współrzędną \(z\) punktu leżącego na sferze kuli w następujący sposób:

\(r_1(z)=0\),   \(r_2(z)=\sqrt{R^2-z^2}\)

Współrzędna \(z\) zmienia się zaś od \(-R\) do \(R\).

Całka określająca moment bezwładności kuli można więc wyrazić wzorem:

\(\displaystyle{I=\int_{-R}^{R}\mathrm{d}z\int_{0}^{\sqrt{R^2-z^2}}\mathrm{d}r \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi\,\rho r^3 }\)

Polecenie

Wybierz jedną prawidłową odpowiedź, spośród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(\displaystyle{I=\frac{2}{5}MR^2}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

\(\displaystyle{I=\frac{4}{3}MR^2}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

\(\displaystyle{I=\int_{-R}^{R}\mathrm{d}z\int_{0}^{\sqrt{R^2-z^2}}\mathrm{d}r \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi\,\rho r^3 }\)

\(\displaystyle{I=\int_{-R}^{R}\mathrm{d}z\int_{0}^{\sqrt{R^2-z^2}}\mathrm{d}r 2\pi\,\rho r^3 }\)

Całka po zmiennej \(r\) wynosi

\(\displaystyle{I=\int_{-R}^{R}\mathrm{d}z\, 2\pi\,\rho \frac{1}{4}\left [ r^4\right]_{0}^{\sqrt{R^2-z^2}}  }\)

 \[\displaystyle{I=\int_{-R}^{R}\mathrm{d}z\,\frac{1}{2}\pi\,\rho \left ( R^2-z^2\right)^2 }\] \[\displaystyle{I=\int_{-R}^{R}\mathrm{d}z\,\frac{1}{2}\pi\,\rho \left ( R^4-2R^2z^2+z^4\right) }\] \[\displaystyle{I=\frac{1}{2}\pi\,\rho \left [ R^4z-2R^2\frac{1}{3}z^3+\frac{1}{5}z^5\right ]_{-R}^{R} }\] \[\displaystyle{I=\frac{1}{2}\pi\,\rho \left (2R^5-\frac{4}{3}R^5+\frac{2}{5}R^5 \right ) }\] 
\(\displaystyle{I=\frac{8}{15}\pi\,\rho R^5 }\)

Pozostaje jeszcze uwzględnić wzór określający masę kuli \(M\) posiadającej gęstość \(\rho\) i promień \(R\):

\(\displaystyle{M=\rho\frac{4}{3}\pi R^3}\)

Ostatecznie

\(\displaystyle{I=\frac{2}{5}M R^2 }\)

Odpowiedź

Wzór określający moment bezwładności kuli względem jej osi symetrii, ma postać: \(\displaystyle{I=\frac{2}{5}MR^2}\).