Zadanie 5.2.2.6
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 5. Dynamika układu punktów
  3. 5.2. Moment bezwładności
  4. 5.2.2 Trening
  5. Zadanie 5.2.2.6

 Zadanie 5.2.2.6

Tensor momentu bezwładności
Wyznacz tensor momentu bezwładności względem osi \(x\), \(y\), \(z\) dwóch ciał o masach \(m\) i \(3m\) leżących w odległości \(10\,\mathrm{cm}\) od siebie tak, że ich środek ciężkości ma współrzędne \((0,0,0)\).
Rysunek

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- masa ciała pierwszego \(3m\),
- masa ciała drugiego \(m\),
- odległość między połączonymi ciałami \(d=10\,\mathrm{cm}\),
- współrzędne środka ciężkości \((0,0,0)\).

Szukane:
- tensor momentu bezwładności \(\hat{I}\).

Odpowiedź

Tensor momentu bezwładności ma postać:

\(\hat{I}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0,0075m & 0 \\ 0 & 0  & 0,0075m \end{bmatrix}\)

Polecenie

Wyznacz odległość \(x_1\) (powyższy rysunek) od środka ciężkość. Wybierz jedną prawidłową wartość, spośród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(x_1=-15\,\mathrm{cm}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(x_1=-10\,\mathrm{cm}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(x_1=-8\,\mathrm{cm}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(x_1=-7,5\,\mathrm{cm}\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Położenie środka ciężkości można wyznaczyć z następującej zależności:

\(\displaystyle{x_s=\frac{mx_1+3mx_2}{m+3m} }\)

\(x_1\) jest wartości ujemną wiec współrzędną \(x_2\) obliczamy jako \(x_2=10+x_1\)

\(\displaystyle{0=\frac{mx_1+3m(10+x_1)}{4m} }\)

\(4x_1=30\)

\(x_1=-7,5\,\mathrm{cm}\)

Polecenie

Wyznacz tensor momentu bezwładności. Wybierz jedną prawidłową wartość, spośród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(\hat{I}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0,0075m & 0 \\ 0 & 0  & 0,0075m \end{bmatrix}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2z 2

\(\hat{I}=\begin{bmatrix} 0,0075m & 3m & m \\ 0 & 0,0075m & 0 \\ 0 & 0  & 0,0075m \end{bmatrix}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

W ogólnym przypadku moment bezwładności układu \(N\) punktów materialnych o masach \(m_i\) i współrzędnych \((x_i,\,y_i,\,z_i)\), gdzie \(i=1,\,2,...N\) jest symetrycznym tensorem drugiego stopnia, którego składowe mają postać:

\(I_{xx}=\sum_{N}^{i=1}m_i\left ( y_i^2+z_i^2 \right )\),    \(I_{xy}=-\sum_{N}^{i=1}m_ix_iy_i\),

\(I_{yy}=\sum_{N}^{i=1}m_i\left ( x_i^2+z_i^2 \right )\),    \(I_{xz}=-\sum_{N}^{i=1}m_ix_iz_i\),

\(I_{zz}=\sum_{N}^{i=1}m_i\left ( x_i^2+y_i^2 \right )\),    \(I_{yz}=-\sum_{N}^{i=1}m_iy_iz_i\)

i można je zapisać w postaci macierzy

\(\hat{I}=\begin{bmatrix}I_{xx} &I_{xy}  &I_{xz} \\ I_{xy} &I_{yy}  &I_{yz} \\ I_{xz} &I_{yz}  &I_{zz} \end{bmatrix}\)

W naszej sytuacji wartość niezerową przyjmują składowe

\(I_{yy}=I_{zz}=m\cdot 0,075^2+3m\cdot 0,025^2\)

\(I_{yy}=I_{zz}=0,005625m+0,001875m=0,0075m\)

Odpowiedź

Tensor momentu bezwładności ma postać:

\(\hat{I}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0,0075m & 0 \\ 0 & 0  & 0,0075m \end{bmatrix}\)