Analiza sytuacji

Na rysunku przedstawiono staczające się z równi ciało, którym może być zarówno kula, jak i obręcz.

Na staczające się ciało działa siła ciężkości \(mg\), gdzie \(m\) jest jego masą, a \(g\) wektorem przyspieszenia ziemskiego. Siła ta jest sumą wszystkich sił działających na poszczególne punkty ciała i można ją zastąpić jedną siłą, działającą na środek masy. Siłę tę wygodnie jest rozłożyć na dwie składowe: składową równą, co do wartości \(mg\, \cos\alpha\), prostopadłą do powierzchni równi, czyli siłę nacisku i składową styczną do powierzchni równi \(mg\, \sin\alpha\). Siła nacisku jest w całości równoważona siłą reakcji równi, a składowa styczna częściowo siłą tarcia o wartości \(T\) i przeciwnym do niej zwrocie. Wypadkowa wszystkich sił działających na ciało powoduje, zgodnie z drugą zasadą dynamiki, ruch ciała z przyspieszeniem \(a\) takim, że


Powyższe równanie opisuje ruch postępowy środka masy ciała. Z kolei ruch obrotowy wokół osi przechodzącej przez środek masy jest uwarunkowany wypadkowym momentem sił działających na ciało. Zgodnie z definicją moment siły wynosi


W naszym przypadku siła ciężkości (bądź tworzące ją składowe) jest przyłożona w środku masy ciała, dlatego jej moment jest równy zeru. Z kolei moment siły reakcji równy jest zero, gdyż co prawda punkt przyłożenia siły reakcji jest na obwodzie ciała, ale działa ona wzdłuż ramienia, czyli kąt \(\varphi\) we wzorze na moment \(M\) jest równy zeru. Jedyną siłą dającą niezerowy moment jest siła tarcia. Wartość momentu siły \(T\) wynosi \(RT\), gdzie \(R\) jest promieniem staczającego się ciała. Moment siły \(T\) powoduje ruch obrotowy z przyspieszeniem kątowym \(\varepsilon\). W naszym przypadku


gdzie \(I\) jest momentem bezwładności ciała, tj. kuli lub obręczy. Moment bezwładności kuli dany jest w zadaniu, a moment bezwładności obręczy o masie \(m_o\) i promieniu \(R_o\) wynosi \(m_oR_o^2\) (zakładając, że obręcz jest cienka i wszystkie punkty masy obręczy znajdują się w tej samej odległości od osi obrotu).

Rozwiązanie

Przepiszmy teraz równania ruchu postępowego i obrotowego obu ciał, zakładając, że mogą one mieć dowolne masy (wielkości dotyczące kuli oznaczmy znakiem \(k\) a obręczy - \(o\)). Zakładamy także, że ciała staczają się bez poślizgu, a stąd związek między przyspieszeniem kątowym \(\varepsilon\) a przyspieszeniem środka masy \(a\) ma postać \(\displaystyle{\varepsilon=\frac{a}{R} }\).

Kula

Obręcz    
Rozwiązując powyższe układy równań  Jak?  Z drugiego równania mamy \(\displaystyle{T_k=\frac{2}{5}m_ka_k }\) i podstawiając otrzymaną wartość do równania pierwszego otrzymujemy \[\displaystyle{m_kg\sin\alpha-\frac{2}{5}m_ka_k=m_ka_k}\]\[\displaystyle{g\sin\alpha=\frac{7}{5}a_k}\] Dla obręczy postępujemy analogicznie.  , znajdujemy odpowiednio przyspieszenie środka masy kuli i obręczy.


Zauważmy po pierwsze, że otrzymane przyspieszenia nie zależą od masy i promieni staczających się ciał. Po drugie, przyspieszenie kuli jest większe, więc aby oba ciała przebyły tą samą odległość w tym samym czasie \(t\), obręczy należy nadać pewną prędkość początkową \(v_0\).

Niech droga przebyta przez ciała w czasie \(t\) wynosi \(S\). Możemy napisać:


Porównując powyższe wyrażenia na drogę otrzymujemy równanie

 Przekształcenia  \[\displaystyle{v_0=\frac{a_kt}{2}-\frac{a_ot}{2}}\] \[\displaystyle{v_0=\frac{t}{2}(a_k-a_o)}\] \[\displaystyle{v_0=\frac{t}{2}\left (\frac{5}{7}g\sin\alpha -\frac{1}{2}g\sin\alpha\right )}\] \[\displaystyle{v_0=\frac{1}{2}tg\,\sin\alpha\left (\frac{5}{7}-\frac{1}{2}\right )}\]