Zadanie 5.3.1.5
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 5. Dynamika układu punktów
  3. 5.3. Ruch obrotowy bryły sztywnej
  4. 5.3.1 Nauka
  5. Zadanie 5.3.1.5

 Zadanie 5.3.1.5

Studnia
Gospodarz wyciągając \(12\) kilogramowe wiadro ze studni wykonał \(12\) obrotów korbą o długości \(0,5\,\mathrm{m}\) działając na nią siłą \(25\,\mathrm{N}\). Jaka głęboka jest ta studnia?

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria
Momentem siły nazywamy iloczyn wektorowy ramienia działania siły \(\vec{R}\) o początku w punkcie \(O\) i końcu w punkcie przyłożenia wektora siły \(\vec{F}\):

\(\vec{M}=\vec{R}\times\vec{F}\)

Pracę w ruchu obrotowym określa wzór

\(\mathrm{d}W=\vec{M}\cdot \mathrm{d}\vec{\varphi}\),

gdzie \(\mathrm{d}\vec{\varphi}\) to wektor elementarnego obrotu o wartości \(\mathrm{d}\varphi\) i kierunku prędkości kątowej.


Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- masa wiadra \(m=12\,\mathrm{kg}\),
- długość korby \(R=0,5\,\mathrm{m}\),
- ilość obrotów korbą \(n=12\),
- siła działająca na korbę \(F=25\,\mathrm{N}\),
- przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).

Szukane:
- głębokość studni \(h\).

Analiza sytuacji

Istnieją dwa sposoby analizy zadania:

  1. Wyciągając wiadro, gospodarz wykonuje pewną pracę, którą jest zużyta na zmianę energii potencjalnej wiadra.
  2. Na podstawie samej ilości obrotów nie możemy określić głębokości, ponieważ nie znamy promienia bębna, na który nawija się lina. Możemy jednak promień bębna znaleźć, porównując jakimi momentami działają siła przyłożona do korby i ciężar wiszącego na linie wiadra.

1. Rozwiązanie

Gospodarz, działając siłą \(F\) na korbę o ramieniu \(R\), działa na bęben nawijający linę momentem siły

\(M=RF\)

Przy 12 obrotach kąt o jaki moment siły obrócił bęben wynosi

\(\alpha=n\,2\pi\)

Zgodnie ze wzorem na pracę momentu siły

\(W=M\alpha\)

Z kolei praca momentu siły jest wykorzystana do zwiększenia energii potencjalnej wciąganego wiadra w stałym polu grawitacyjnym Ziemi

\(W=M\alpha=RF\alpha=RFn\,2\pi=\Delta E_p=mgh\)

Wysokość, na jaką podnosimy wiadro, to głębokość studni

\(\displaystyle{h=\frac{RFn\,2\pi}{mg} }\)

\(\displaystyle{h=\frac{0,5\cdot 25\cdot 12\cdot 2\pi}{12\cdot 10} }\)

\(h=7,85\,\mathrm{m}\)

2. Rozwiązanie

Gospodarz działając siłą \(F\) na korbę o ramieniu \(R\), działa na bęben nawijający linę momentem siły

\(M=RF\)

Wiszące wiadro poprzez linę wywiera przeciwnie skierowany moment siły

\(M'=rmg\)

gdzie \(r\) to promień bębna, na który nawija się lina.
Przy jednostajnym wciąganiu momenty te muszą być równe (co do wartości), stąd

\(RF=rmg\),

a to pozwala obliczyć promień bębna
\(\displaystyle{r=\frac{RF}{mg}}\)

\(n=12\) obrotów pozwala obliczyć długość nawiniętej liny, czyli głębokość studni

\(\displaystyle{h=n2\pi r=\frac{RFn\,2\pi}{mg} }\)

\(\displaystyle{h=\frac{0,5\cdot 25\cdot 12\cdot 2\pi}{12\cdot 10} }\)

\(h=7,85\,\mathrm{m}\)

Odpowiedź

Głębokość studni wynosi \(h=7,85\,\mathrm{m}\).