Zadanie 5.3.2.2
Informacja
Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.
Dane i szukane
Dane:
- masa szpuli \(m=18\,\mathrm{g}=0,018\,\mathrm{kg}\),
- moment bezwładności szpuli \(I=1,5\cdot 10^{-6}\,\mathrm{kg\,m^2}\),
- siła, z jaką ciągnięta jest szpula \(F=0,3\,\mathrm{N}\),
- promień zewnętrzny szpuli \(R_z=2,5\,\mathrm{cm}=0,025\,\mathrm{m}\),
- promień wewnętrzny szpuli \(R_w=1,5\,\mathrm{cm}=0,015\,\mathrm{m}\).
Szukane:
- przyspieszenie szpuli \(a\).
Odpowiedź
Szpula będzie poruszała się z różnym przyspieszeniem w zależności od tego, jak nawinięta jest nitka i jak leży szpula. W przypadku A przyspieszenie wynosi \(\displaystyle{a_A=2,63\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\), w B: \(\displaystyle{a_B=0,65\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).
Polecenie
Wybierz rysunek, który poprawnie ilustruje treść zadania.
Ilustracja 1 z 2
Rysunek A
Ilustracja 2 z 2
Rysunek B
Od tego jednak, jaką sytuację wybierzemy, będzie zależał końcowy wynik zadania.
Polecenie
Zastanów się nad rozwiązaniem zadania. Wybierz układ równań, który można użyć w dwóch rozpatrywanych przypadkach zadania. Wybierz jeden prawidłowy, wśród dwóch przedstawionych poniżej.
\(\begin{eqnarray} \begin{cases} F-T=ma \\ \vec{R}_w\times\vec{F}+\vec{R}_z\times\vec{T}=I\vec{\varepsilon} \end{cases} \end{eqnarray} \)
\(\begin{eqnarray} \begin{cases} F+T=ma \\ R_wF+R_zT=I\varepsilon \end{cases} \end{eqnarray} \)
Rozwiązanie
Przyspieszenie liniowe \(a\) zależy od całkowitej siły, na którą składa się siła ciągnąca \(F\) oraz siła tarcia \(T\). Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona \(F_c=F-T=ma\). Nie znamy wartości siły tarcia, możemy ją jednak wyznaczyć z zasad dynamiki dla ruchu obrotowego, czyli \(\vec{M}=I\vec{\varepsilon}\) i licząc momenty obu działających sił
Polecenie
Zastanów się, jakie zwroty mają wielkości wektorowe, zapisane w powyższym układzie równań. Zapisz poprawne równania z rozdzieleniem na dwa analizowane przypadki (rysunek A i rysunek B). Wybierz prawidłowy zapis, wśród dwóch przedstawionych poniżej.
Przypadek B: \(-R_wF-R_zT=I\varepsilon\)
Przypadek B: \(-R_wF+R_zT=I\varepsilon\)
Rozwiązanie
Zakładając, że kierunek dodatni wektora przyspieszenia kątowego jest skierowany do kartki, możemy równanie
zapisać skalarnie w zależności od przypadku:
- przypadek A: \(R_wF+R_zT=I\varepsilon\)
- przypadek B: \(-R_wF+R_zT=I\varepsilon\)
Polecenie
Wyznacz wartości przyspieszenia liniowego \(a\). Wybierz jedną prawidłową wartość, spośród dwóch przedstawionych poniżej.
\(\displaystyle{a_A=2,63\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\)
\(\displaystyle{a_B=0,65\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\)
Rozwiązanie
Z wcześniejszych rozważań otrzymaliśmy dwa układy równań:
Przypadek A
Przypadek B
Jeśli dodatkowo skorzystamy z zależności przyspieszenia liniowego szpulki od przyspieszenia kątowego \(R_z\varepsilon=a\), pozostanie już tylko wykonanie kilku prostych przekształceń. Zajmijmy się najpierw przypadkiem pierwszym.
Podstawmy \(\displaystyle{\varepsilon=\frac{a_A}{R_z}}\) oraz podzielmy równanie drugie przez \(R_z\).
Po dodaniu stronami mamy
Przypadek B:
\[\begin{eqnarray} \begin{cases} F-T=ma_B \\ -\frac{R_w}{R_z}F+R_zT=I\frac{a_B}{R_z^2} \end{cases} \end{eqnarray} \] \[\displaystyle{\left (1-\frac{R_w}{R_z}\right )F=\left (m+\frac{I}{R_z^2}\right )a }\] \[\displaystyle{a_B=\frac{1-\frac{R_w}{R_z}}{m+\frac{I}{R_z^2}}F }\] \[\displaystyle{a_B=\frac{1-\frac{0,015}{0,025}}{0,018+\frac{1,5\cdot 10^{-6}}{0,025^2}}0,3 }\]
Odpowiedź
Szpula będzie poruszała się z różnym przyspieszeniem w zależności od tego, jak nawinięta jest nitka i jak leży szpula. W przypadku A przyspieszenie wynosi \(\displaystyle{a_A=2,63\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\), w B \(\displaystyle{a_B=0,65\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).