Zadanie 5.3.2.4

Szpula ciągnięta siła pod kątem do podłoża

Ciężka szpula z nawiniętą nicią, do której przyłożono siłę

$\vec{F}$ leży na płaszczyźnie poziomej. W którą stronę i z jakim przyspieszeniem liniowym będzie poruszać się szpula w zależności od kąta między kierunkiem działania siły a płaszczyzną? Masa szpuli

$m$ , zewnętrzny i wewnętrzny promień odpowiednio

$R$ i

$r$ , moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek

$I_0$ .

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Jeśli chcesz zobaczyć doświadczenie ze szpulą, uruchom kliknięciem link nieposłuszna szpula

Dane i szukane

Dane:
- masa szpuli $m$ ,
- zewnętrzny promień $R$ ,
- wewnętrzny promień $r$ ,
- moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek $I_0$ ,
- przyłożona siła $\vec{F}$ .

Szukane:
- przyspieszenie liniowe $a$ ,
- kierunek ruchu szpuli.

Odpowiedź

Przyspieszenie liniowe ma postać

$\displaystyle{a=\frac{F(R\cos\alpha-r)R}{\left (I_0+mR^2\right )} }$

Widać, że dla

$\displaystyle{\cos\alpha>\frac{r}{R}}$ szpula nawija się na nić, gdyż wtedy

$a>0$ , dla

$\displaystyle{\cos\alpha<\frac{r}{R} }$ , czyli dla

$a<0$ nić rozwija się ze szpuli, a dla

$\displaystyle{\cos\alpha=\frac{r}{R} }$ szpula spoczywa.

Polecenie

Wyznacz wartość przyspieszenia liniowego. Wybierz jedną prawidłową wartość, spośród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

$\displaystyle{a=\frac{F(R\cos\alpha-r)R}{I_0+mR^2} }$

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

$\displaystyle{a=\frac{FR\cos\alpha-r}{I_0} }$

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Załóżmy, że szpula nie ślizga się. Siła $\vec{F}$ wywołuje obrót dookoła chwilowej osi $A$

Ramię tej siły wynosi

$x$ . Z rysunku widać, że

$\displaystyle{\frac{r+x}{R}=\cos\alpha }$ ,

czyli

$x=R\cos\alpha-r$

Ramię siły tarcia

$T$ jest równe zeru, gdyż jest ona przyłożona do chwilowej osi obrotu

$A$ . Zatem równanie tego ruchu ma postać

$Fx=I_A\varepsilon$ ,

gdzie

$\displaystyle{\varepsilon=\frac{a}{R} }$ . Jak wynika z twierdzenia Steinera, moment bezwładności szpuli względem osi

$A$

$I_A$ można wyrazić za pomocą momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy

$I_0$ oraz odległości

$R$ pomiędzy tymi osiami:

$I_A=I_0+mR^2$

Otrzymujemy równanie

$\displaystyle{F(R\cos\alpha-r)=\frac{\left (I_0+mR^2\right )a}{R} }$ ,

a stąd przyspieszenie

$a$ wynosi

$\displaystyle{a=\frac{F(R\cos\alpha-r)R}{\left (I_0+mR^2\right )} }$

Odpowiedź

Przyspieszenie liniowe ma postać

$\displaystyle{a=\frac{F(R\cos\alpha-r)R}{\left (I_0+mR^2\right )} }$

Widać, że dla

$\displaystyle{\cos\alpha>\frac{r}{R}}$ szpula nawija się na nić, gdyż wtedy

$a>0$ , dla

$\displaystyle{\cos\alpha<\frac{r}{R} }$ , czyli dla

$a<0$ nić rozwija się ze szpuli, a dla

$\displaystyle{\cos\alpha=\frac{r}{R} }$ szpula spoczywa.

Zadanie 5.3.2.3

Zadanie 5.3.2.5

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta

Zadanie 5.3.2.4

Informacja

Dane i szukane

Odpowiedź

Polecenie

Rozwiązanie

Odpowiedź