Analiza sytuacji

Środek małego walca porusza się wewnątrz dużego walca po torze będącym wycinkiem okręgu o promieniu $R-a$ z chwilową prędkością kątową $\displaystyle{\omega_1=\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d} t} }$, a zatem z prędkością liniową


Prędkość kątowa obrotu małego walca wokół osi przechodzącej przez jego środek $O'$ wynosi więc


Skorzystamy z zasady zachowania energii. Całkowita energia kinetyczna małego walca to suma energii kinetycznej ruchu obrotowego względem osi przechodzącej przez środek $O$ dużego walca i energii kinetycznej ruchu obrotowego względem osi przechodzącej przez jego środek $O'$. Zatem


gdzie $\displaystyle{I_0=\frac{ma^2}{2} }$ jest momentem bezwładności małego walca względem osi przechodzącej przez punkt $O'$, a $I$ jest jego momentem bezwładności względem osi przechodzącej przez punkt $O$. Zgodnie z twierdzeniem Steinera:

Rozwiązanie

Całkowita energia kinetyczna małego walca wychylonego o kąt $\varphi$ od położenia równowagi wynosi zatem

 Przekształcenia   $$\displaystyle{E_k=\left (\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d} t}\right )^2m\left (\frac{a^2}{4}+\frac{1}{2}(R-a)^2 +\frac{a^2}{4}\frac{(R-a)^2}{a^2}\right ) }$$ $$\displaystyle{E_k=\frac{1}{4}\left (\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d} t}\right )^2m\left (a^2+2(R-a)^2+(R-a)^2\right ) }$$  


Energia potencjalna w tym samym momencie wynosi $E_p=mg(h-a)$. Z wcześniejszego rysunku widać, że


a stąd mamy


Zatem

 Przekształcenia   $$E_p=mg(R-R\cos\varphi+a\cos\varphi-a)$$ $$E_p=mg(R(1-\cos\varphi)-a(1-\cos\varphi))$$  
Ponieważ suma $E_k+E_p$, zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej, jest stała, więc


Obliczamy pochodne:


Teraz otrzymujemy równanie ruchu