Zadanie 5.4.1.3
Obręcz, walec i kula na równi
Z równi pochyłej o wysokości \(4\,\mathrm{m}\) staczają się trzy ciała: obręcz, walec i kula. Oblicz, z jaką prędkością każde z nich dotrze do podstawy równi.
Wskazówka teoretyczna
Teoria - energia kinetyczna ruchu obrotowego
Energię kinetyczną toczącego się ciała o masie \(m\) możemy przedstawić jako sumę energii kinetycznej ruchu postępowego i energii kinetycznej ruchu obrotowego
\(\displaystyle{E_k=\frac{mv^2}{2}+\frac{I\omega^2}{2} }\)
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- wysokość równi \(h=4\,\mathrm{m}\),
- przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).
Szukane:
- prędkości końcowe trzech ciał \(v_{ko}\), \(v_{kw}\), \(v_{kk}\).
Analiza sytuacji
Zadanie należy najpierw rozwiązać ogólnie, bez podziału na rodzaj ciała. Zauważmy, że energia potencjalna ciała znajdującego się na szczycie równi zamienia się w energię kinetyczną.
Rozwiązanie
Z zasady zachowania energii wynika, że \(E_p=E_k\)
\(\displaystyle{mgh=\frac{mv_k^2}{2}+\frac{I\omega_k^2}{2}}\)
po uwzględnieniu faktu, że \(\displaystyle{\omega_k=\frac{v_k}{R}}\), gdzie \(R\) to promień ciała otrzymamy
\(\displaystyle{mgh=\frac{mv_k^2}{2}+\frac{Iv_k^2}{2R^2}}\)
\[\displaystyle{mgh=v_k^2\left (\frac{m}{2}+\frac{I}{2R^2}\right ) }\] \[\displaystyle{v_k^2=\frac{mgh}{\frac{mR^2+I}{2R^2}} }\]
\(\displaystyle{v_k=\sqrt{\frac{mgh2R^2}{mR^2+I}} }\)
Obliczamy wartość prędkości końcowej dla poszczególnych obiektów uwzględniając, że momenty bezwładności wynoszą: \(I_o=m_oR_o^2\), \(\displaystyle{I_w=\frac{1}{2}m_wR_w^2}\) oraz \(\displaystyle{I_k=\frac{2}{5}m_kR_k^2}\)
Obręcz: \(\displaystyle{v_{ko}=\sqrt{\frac{m_ogh2R_o^2}{m_oR_o^2+m_oR_o^2}} }\)
\[\displaystyle{v_{ko}=\sqrt{\frac{2gh}{2}} }\] \[v_{ko}=\sqrt{gh}=\sqrt{10\cdot 4}\] \[\displaystyle{v_{ko}\approx 6,3\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\]
Walec: \(\displaystyle{v_{kw}=\sqrt{\frac{m_wgh2R_w^2}{m_wR_w^2+\frac{1}{2}m_wR_w^2}} }\)
\[\displaystyle{v_{kw}=\sqrt{\frac{2gh}{\frac{3}{2}}} }\] \[\displaystyle{v_{kw}=\sqrt{\frac{4}{3}gh}=\sqrt{\frac{4}{3}\cdot 10\cdot 4}}\] \[\displaystyle{v_{kw}\approx 7,3\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\]
Kula: \(\displaystyle{v_{kk}=\sqrt{\frac{m_kgh2R_k^2}{m_kR_k^2+\frac{2}{5}m_wR_w^2}} }\)
\[\displaystyle{v_{kk}=\sqrt{\frac{2gh}{\frac{7}{5}}} }\] \[\displaystyle{v_{kk}=\sqrt{\frac{10}{7}gh}=\sqrt{\frac{10}{7}\cdot 10\cdot 4}}\] \[\displaystyle{v_{kk}\approx 7,6\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\]
Zwróćmy uwagę, że im mniejszy moment bezwładności tym większa prędkość końcowa.
Odpowiedź
Do podstawy równi ciała dotrą z następującymi prędkościami:
- obręcz:
\(\displaystyle{v_{ko}\approx 6,3\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)
- walec:
\(\displaystyle{v_{kw}\approx 7,3\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)
- kula:
\(\displaystyle{v_{kk}\approx 7,6\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)