Analiza sytuacji

Zadanie należy najpierw rozwiązać ogólnie, bez podziału na rodzaj ciała. Zauważmy, że energia potencjalna ciała znajdującego się na szczycie równi zamienia się w energię kinetyczną.

Rozwiązanie

Z zasady zachowania energii wynika, że $E_p=E_k$

po uwzględnieniu faktu, że $\displaystyle{\omega_k=\frac{v_k}{R}}$, gdzie $R$ to promień ciała otrzymamy

 Przekształcenia   $$\displaystyle{mgh=v_k^2\left (\frac{m}{2}+\frac{I}{2R^2}\right ) }$$ $$\displaystyle{v_k^2=\frac{mgh}{\frac{mR^2+I}{2R^2}} }$$  
Obliczamy wartość prędkości końcowej dla poszczególnych obiektów uwzględniając, że momenty bezwładności wynoszą: $I_o=m_oR_o^2$,    $\displaystyle{I_w=\frac{1}{2}m_wR_w^2}$   oraz   $\displaystyle{I_k=\frac{2}{5}m_kR_k^2}$

Obręcz:   $\displaystyle{v_{ko}=\sqrt{\frac{m_ogh2R_o^2}{m_oR_o^2+m_oR_o^2}} }$
 Obliczenia   $$\displaystyle{v_{ko}=\sqrt{\frac{2gh}{2}} }$$ $$v_{ko}=\sqrt{gh}=\sqrt{10\cdot 4}$$ $$\displaystyle{v_{ko}\approx 6,3\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$$  

Walec:   $\displaystyle{v_{kw}=\sqrt{\frac{m_wgh2R_w^2}{m_wR_w^2+\frac{1}{2}m_wR_w^2}} }$
 Obliczenia   $$\displaystyle{v_{kw}=\sqrt{\frac{2gh}{\frac{3}{2}}} }$$ $$\displaystyle{v_{kw}=\sqrt{\frac{4}{3}gh}=\sqrt{\frac{4}{3}\cdot 10\cdot 4}}$$ $$\displaystyle{v_{kw}\approx 7,3\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$$  

Kula:   $\displaystyle{v_{kk}=\sqrt{\frac{m_kgh2R_k^2}{m_kR_k^2+\frac{2}{5}m_wR_w^2}} }$
 Obliczenia   $$\displaystyle{v_{kk}=\sqrt{\frac{2gh}{\frac{7}{5}}} }$$ $$\displaystyle{v_{kk}=\sqrt{\frac{10}{7}gh}=\sqrt{\frac{10}{7}\cdot 10\cdot 4}}$$ $$\displaystyle{v_{kk}\approx 7,6\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$$  
 
Zwróćmy uwagę, że im mniejszy moment bezwładności tym większa prędkość końcowa.