Zadanie 5.4.2.4
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 5. Dynamika układu punktów
  3. 5.4. Zasady zachowania w ruchu obrotowym.
  4. 5.4.2 Trening
  5. Zadanie 5.4.2.4

 Zadanie 5.4.2.4

Pocisk uderza w listwę
Listwa drewniana o długości \(l\) i masie \(m\) może obracać się dookoła osi prostopadłej do listwy, przechodzącej przez jej środek. W koniec listwy trafia pocisk o masie \(m_1\), lecący z prędkością \(v_1\) w kierunku prostopadłym do osi i do listwy. Znajdź prędkość kątową, z jaką listwa zacznie się obracać, gdy utkwi w niej pocisk. Moment bezwładności dla pręta obracającego się wokół osi przechodzącej przez jego środek wynosi \(\displaystyle{I_0=\frac{1}{12}ml^2}\).

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- długość listwy \(l\),
- masa listwy \(m\),
- masa pocisku \(m_1\),
- prędkość pocisku \(v_1\).

Szukane:
- prędkość kątowa listwy z pociskiem \(\omega\).

Odpowiedź

Prędkość kątowa listwy z pociskiem wynosi \(\displaystyle{\omega=\frac{2m_1v_1}{l\left ( \frac{1}{3}m+m_1\right )} }\).

Polecenie

Wyznacz prędkość kątową, z jaką listwa zacznie się obracać, gdy utkwi w niej pocisk. Wybierz jedną prawidłową zależność, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(\displaystyle{\omega=\frac{2m_1v_1}{l\left ( \frac{1}{3}m+m_1\right )} }\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

\(\displaystyle{\omega=\frac{2m_1v_1}{\frac{2}{3}lm} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Moment pędu układu pocisk-listwa przed uderzeniem w listwę \(\displaystyle{m_1v_1\frac{l}{2}}\), gdzie \(m_1v_1\) jest pędem pocisku, a \(\displaystyle{\frac{l}{2}}\) jego odległością od osi obrotu listwy przed trafieniem w nią. Gdy pocisk utkwi w listwie, to całkowity moment pędu układu będzie sumą momentu pędu obracającej się listwy \(I_0\omega\) oraz momentu pędu tkwiącego w niej pocisku \(I_1\omega\) względem osi obrotu listwy. Wielkość \(\displaystyle{I_1=m_1\frac{l^2}{4}}\) jest momentem bezwładności tkwiącego w listwie pocisku. Moment pędu układu przed zderzeniem pocisku z listwą jest równy momentowi pędu układu po zderzeniu:

\(\displaystyle{\frac{m_1v_1l}{2}=\left ( \frac{1}{12}ml^2+m_1\frac{l^2}{4}\right )\omega }\)

\(\displaystyle{\omega=\frac{m_1v_1l}{\frac{1}{2}l^2\left ( \frac{1}{3}m+m_1\right )} }\)

\(\displaystyle{\omega=\frac{2m_1v_1}{l\left ( \frac{1}{3}m+m_1\right )} }\)

Odpowiedź

Prędkość kątowa listwy z pociskiem wynosi \(\displaystyle{\omega=\frac{2m_1v_1}{l\left ( \frac{1}{3}m+m_1\right )} }\).