Zadanie 6.1.1.4
Drgania harmoniczne
Masa \(m=0,04\,\mathrm{kg}\) wykonuje drgania harmoniczne postaci \(\displaystyle{x(t)=2,1\cdot 10^{-2}\cos \left (\frac{\pi}{8}t+\frac{\pi}{4}\right ) }\) (w SI). Wyznacz zależność od czasu siły działającej na masę \(m\) w tym ruchu.
Wskazówka teoretyczna
Teoria - dynamika w ruchu drgającym
Z II zasady dynamiki mamy \(F(t)=ma(t)\). Dla drgań harmonicznych możemy zapisać:
\(\displaystyle{F(t)=m\frac{\mathrm{d^2}x(t) }{\mathrm{d} t^2} }\)
\(\displaystyle{F(t)=m\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} t^2}x_0 \cos (\omega_0 t+\varphi ) }\)
\(\displaystyle{F(t)=-mx_0\omega_0^2\cos(\omega_0 t+\varphi ) }\)
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- masa ciała wykonującego drgania \(m=0,04\,\mathrm{kg}\),
- równanie opisujące ruch ciała \(\displaystyle{x(t)=2,1\cdot 10^{-2}\cos \left (\frac{\pi}{8}t+\frac{\pi}{4}\right )\,\mathrm{m}}\).
Szukane:
- zależność od czasu siły działającej na drgające ciało \(F(t)\).
Rozwiązanie
Z drugiej zasady dynamiki dla ruchu drgającego mamy :
\(\displaystyle{F(t)=-mx_0\omega_0^2\cos(\omega_0 t+\varphi ) }\)
Z równania \(\displaystyle{x(t)=2,1\cdot 10^{-2}\cos \left (\frac{\pi}{8}t+\frac{\pi}{4}\right ) \,\mathrm{m}}\) możemy odczytać amplitudę, częstość oraz fazę początkową drgań:
\(x_0=2,1\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m} \)
\(\displaystyle{\omega_0=\frac{\pi}{8} }\)
\(\displaystyle{\varphi=\frac{\pi}{4} }\)
Zależność opisująca działająca siłę ma postać:
\(\displaystyle{F(t)=-0,04\cdot 2,1\cdot 10^{-2}\cdot \left (\frac{\pi}{8}\right )^2\cos \left (\frac{\pi}{8}t+\frac{\pi}{4}\right ) }\)
\(\displaystyle{F(t)\approx-1,3\cdot 10^{-4}\cos \left (\frac{\pi}{8}t+\frac{\pi}{4}\right )\,\mathrm{N} }\)
Odpowiedź
Zależność od czasu siły działającej na masę ma postać \(\displaystyle{F(t)\approx-1,3\cdot 10^{-4}\cos \left (\frac{\pi}{8}t+\frac{\pi}{4}\right ) \,\mathrm{N}}\).