Zadanie 6.1.2.4
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.1. Drgania swobodne.
  4. 6.1.2. Trening
  5. Zadanie 6.1.2.4

 Zadanie 6.1.2.4

SIlnik spalinowy
W silniku spalinowym położenie tłoka w czasie określa w SI wzór \(\displaystyle{x(t) = \sqrt{2}\cos \left (2t+\frac{5\pi}{4}\right ) }\). Dla chwili \(t=0\) wyznacz okres drgań, prędkość i przyspieszenie w chwili \(t=0\).

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- równanie określające położenie tłoka \(\displaystyle{x(t) = \sqrt{2}\cos \left (2t+\frac{5\pi}{4}\right ) \,\mathrm{m}}\).

Szukane:
- okres drgań \(T\),
- prędkość w chwili \(t=0\): \(v\),
- przyspieszenie w chwili \(t=0\): \(a\).

Odpowiedź

Okres drgań harmonicznych wynosi \(T=\pi\,\mathrm{s}\), prędkość w chwili \(t=0\) ma wartość \(\displaystyle{v=2\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\), zaś przyspieszenie \(\displaystyle{a=4\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).

Polecenie

Wyznacz okres drgań. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(T=\pi\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 4

\(T=2\pi\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(T=1\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(T=2\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Z równania \(\displaystyle{x(t) = \sqrt{2}\cos \left (2t+\frac{5\pi}{4}\right ) \,\mathrm{m}}\) odczytujemy wartość częstości kątowej \(\displaystyle{\omega_0=2\,\mathrm{s^{-1}} }\).

Wartość tą podstawiamy do wzoru

\(\displaystyle{T=\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{2\pi}{2}=\pi\,\mathrm{s} }\)

Wyznacz prędkość w chwili \(t=0\). Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(\displaystyle{v=1\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(\displaystyle{v=2\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 3 z 4

\(\displaystyle{v=3\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(\displaystyle{v=4\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Różniczkując równanie \(\displaystyle{x(t) = \sqrt{2}\cos \left (2t+\frac{5\pi}{4}\right ) \,\mathrm{m}}\) otrzymujemy zależność

\(\displaystyle{v(t)=\frac{\mathrm{d}x(t) }{\mathrm{d} t}=-\sqrt{2}\cdot 2\sin \left (2t+\frac{5\pi}{4}\right )   }\)

W chwili \(t=0\) mamy

\(\displaystyle{v(0)=-2\sqrt{2}\sin \left (\frac{5\pi}{4}\right )=-2\sqrt{2}\cdot \left (-\frac{\sqrt{2}}{2}\right )   }\)

 
\(\displaystyle{v=2\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\)

Polecenie

Wyznacz przyspieszenie w chwili \(t=0\). Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(\displaystyle{a=1\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(\displaystyle{a=2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(\displaystyle{a=3\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(\displaystyle{a=4\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Różniczkując dwukrotnie równanie \(\displaystyle{x(t) = \sqrt{2}\cos \left (2t+\frac{5\pi}{4}\right ) \,\mathrm{m}}\) otrzymujemy zależność

\(\displaystyle{a(t)=\frac{\mathrm{d}^2x(t) }{\mathrm{d} t^2}=-\sqrt{2}\cdot 4\cos \left (2t+\frac{5\pi}{4}\right )   }\)

W chwili \(t=0\) mamy

\(\displaystyle{a(0)=-4\sqrt{2}\cos \left (\frac{5\pi}{4}\right )=-4\sqrt{2}\cdot \left (-\frac{\sqrt{2}}{2}\right )   }\)

 
\(\displaystyle{a=4\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\)

Odpowiedź

Okres drgań harmonicznych wynosi \(T=\pi\,\mathrm{s}\), prędkość w chwili \(t=0\) ma wartość \(\displaystyle{v=2\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\), zaś przyspieszenie \(\displaystyle{a=4\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).