Zadanie 6.1.2.6
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.1. Drgania swobodne.
  4. 6.1.2. Trening
  5. Zadanie 6.1.2.6

 Zadanie 6.1.2.6

Amplituda i faza drgań harmonicznych
Oblicz amplitudę i fazę początkową ruchu harmonicznego nietłumionego, wykonywanego przez punkt materialny wzdłuż prostej, jeżeli w chwili \(t=0\) wychylenie punktu wynosi \(x=5\,\mathrm{cm}\), jego prędkość ma wartość \(\displaystyle{20}\,\mathrm{\frac{cm}{s}}\), a częstotliwość drgań \(f=1\,\mathrm{Hz}\).

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- wychylenie punktu w chwili \(t=0\):  \(x=5\,\mathrm{cm}\),
- prędkość punktu w chwili \(t=0\):  \(\displaystyle{v=20\,\mathrm{\frac{cm}{s}}}\),
- częstotliwość drgań \(f=1\,\mathrm{Hz}\).

Szukane:
- amplituda \(x_0\),
- faza początkowa \(\varphi\).

Odpowiedź

Amplituda wynosi \(x_0\approx 6\,\mathrm{cm}\), a faza początkowa ma wartość \(\varphi=-32,5^{\circ} \).

Polecenie

Oblicz amplitudę drgań. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(x_0\approx 3\,\mathrm{cm}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(x_0\approx 6\,\mathrm{cm}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 3 z 4

\(x_0\approx 9\,\mathrm{cm}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(x_0\approx 12\,\mathrm{cm}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

W ruchu harmonicznym nietłumionym wychylenie punktu materialnego z położenia równowagi, w dowolnej chwili \(t\), określa wzór

\(x(t)=x_0\cos(\omega t+\varphi)\),
a ponieważ
\(\displaystyle{v(t)=\frac{\mathrm{d}x(t) }{\mathrm{d} t}=-x_0\omega \sin(\omega t+\varphi) }\)

więc zgodnie z warunkami zadania, dla \(t=0\) możemy napisać następujące zależności

\(x=x_0\cos(\varphi)\)
\(v=-x_0\omega \sin(\varphi)\)

Rozwiązując powyższe równania  otrzymujemy

\(\displaystyle{x_0=\pm\sqrt{x^2+\frac{v^2}{\omega^2}}=\pm\sqrt{x^2+\frac{v^2}{4\pi^2 f^2}} }\)

\(\displaystyle{x_0=\pm\sqrt{5^2+\frac{20^2}{4\pi^2 1^2}}\approx \pm 6\,\mathrm{cm} }\)

Wartość amplitudy wynosi \(x_0\approx 6\,\mathrm{cm}\)

\(\begin{eqnarray} \begin{cases} x &=x_0\cos(\varphi)\\ v &=-x_0\omega \sin(\varphi) \end{cases} \end{eqnarray} \)

\(\begin{eqnarray} \begin{cases} x^2 &=x_0^2\cos^2(\varphi)\\ v^2 &=x_0^2\omega^2 \sin^2(\varphi) \end{cases} \end{eqnarray} \)

\(\begin{eqnarray} \begin{cases} \frac{x^2}{x_0^2} &=\cos^2(\varphi)\\ \frac{v^2}{x_0^2\omega^2} &= \sin^2(\varphi) \end{cases} \end{eqnarray} \)

Dodając oba równania stronami, otrzymujemy

\(\displaystyle{\frac{x^2\omega^2}{x_0^2\omega^2}+\frac{v^2}{x_0^2\omega^2}= \cos^2(\varphi)+\sin^2(\varphi)}\)

\(\displaystyle{\frac{x^2\omega^2+v^2}{x_0^2\omega^2}=1 }\)

\(x^2\omega^2+v^2=x_0^2\omega^2 \)

\(\displaystyle{x_0^2=x^2+\frac{v^2}{\omega^2} }\)

Polecenie

Oblicz fazę początkową drgań. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(\varphi=-16^{\circ}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(\varphi=-32,5^{\circ}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 3 z 4

\(\varphi=-36^{\circ}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(\varphi=-42,5^{\circ}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

W pierwszej części zadania otrzymaliśmy równania

\(x=x_0\cos(\varphi)\)

\(v=-x_0\omega \sin(\varphi)\)

Po podniesieniu obu do kwadratu i podzielenia stronami, otrzymujemy

\(\displaystyle{\frac{x^2}{v^2}=\frac{\cos^2(\varphi)}{\omega^2 \sin^2(\varphi)} }\)

\(\displaystyle{\frac{\sin^2(\varphi)}{\cos^2(\varphi)}=\frac{v^2}{x^2\omega^2}=\operatorname{tg^2}{\varphi} }\)

\(\displaystyle{\operatorname{tg}{\varphi}=\pm\frac{v}{x\cdot \omega}=\pm\frac{v}{x\cdot 2\pi f} }\)

\(\displaystyle{\operatorname{tg}{\varphi}=\pm\frac{20}{5\cdot 2\pi\cdot 1} }\)

\(\varphi=\pm32,5^{\circ} \)

To czy kąt fazy początkowej jest dodatni, czy ujemny, rozstrzygniemy podstawiając otrzymane wartości do równania \(v=-x_0\omega \sin(\varphi)\)

\(\displaystyle{v=-6\cdot 2\pi\cdot 1\cdot \sin(32,5^{\circ} )\approx -20\,\mathrm{\frac{cm}{s}}}\)

\(\displaystyle{v=-6\cdot 2\pi\cdot 1\cdot \sin(-32,5^{\circ} )\approx 20\,\mathrm{\frac{cm}{s}}}\)

Ponieważ z treści zadania wiemy, że w chwili \(t=0\) prędkość ma wartość dodatnią, więc faza początkowa wynosi \(\varphi=-32,5^{\circ}\).

Odpowiedź

Amplituda wynosi \(x_0\approx 6\,\mathrm{cm}\), a faza początkowa ma wartość \(\varphi=-32,5^{\circ} \).