Zadanie 6.2.2.5
  1. Kurs obliczeniowy z fizyki
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.2. Energia w ruchu drgającym.
  4. 6.2.2. Trening
  5. Zadanie 6.2.2.5

 Zadanie 6.2.2.5

Drgania ciała na sprężynie
Ciało na sprężynie wykonuje drgania harmoniczne. Amplituda drgań wynosi \(3,5\,\mathrm{cm}\), masa ciała \(0,4\,\mathrm{kg}\) i stała \(\displaystyle{k = 300\,\mathrm{\frac{N}{m}}}\). Ile wynosi energia mechaniczna układu? Jaka jest maksymalna prędkość masy? Jakie jest maksymalne przyspieszenie drgań masy?

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- amplituda drgań \(A=3,5\,\mathrm{cm}=0,035\,\mathrm{m}\),
- masa ciała \(m=0,4\,\mathrm{kg}\),
- stała sprężysości \(\displaystyle{k = 300\,\mathrm{\frac{N}{m}}}\).

Szukane:
- energia mechaniczna układu \(E_m\),
- maksymalna prędkość masy \(v_{max}\),
- maksymalne przyspieszenie drgań masy \(a_{max}\).

Odpowiedź

Energia mechaniczna układu wynosi \(\displaystyle{E_m=0,18\,\mathrm{J} }\), maksymalna prędkość masy ma wartość \(\displaystyle{v_{max}\approx0,96\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\), zaś maksymalne przyspieszenie drgań masy wynosi \(\displaystyle{a_{max}=26,25\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\).

Polecenie

Wyznacz energię mechaniczną układu. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(E_m=0,18\,\mathrm{J}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

\(E_m=18\,\mathrm{J}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Energię mechaniczną układu wyznaczamy na podstawie definicji

\(\displaystyle{E_m=\frac{1}{2}m\omega^2A^2=\frac{1}{2}kA^2 }\)

\(\displaystyle{E_m=\frac{1}{2}300\cdot (0,035)^2=0,18375\,\mathrm{J} }\)

\(\displaystyle{\mathrm{\left [ \frac{N}{m}\cdot m^2=N\cdot m=J\right ]} }\)

Polecenie

Wyznacz maksymalną prędkość masy. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(\displaystyle{v_{max}\approx0,96\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

\(\displaystyle{v_{max}\approx9,6\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Maksymalną prędkość wyznaczamy ze wzoru

\(\displaystyle{E_m=\frac{1}{2}mv_{max}^2}\)

\(\displaystyle{v_{max}=\sqrt{\frac{2E_m}{m} }}\)

\(\displaystyle{v_{max}=\sqrt{\frac{2\cdot 0,18}{0,4}}\approx 0,96\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\)

Polecenie

Wyznacz maksymalne przyspieszenie drgań masy. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(\displaystyle{a_{max}=2,625\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 2

\(\displaystyle{a_{max}=26,25\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Maksymalne przyspieszenie w tym ruchu wynosi

\(\displaystyle{a_{max}=A\omega^2=A\frac{k}{m} }\)

\(\displaystyle{a_{max}=0,035\cdot\frac{300}{0,4}=26,25\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Odpowiedź

Energia mechaniczna układu wynosi \(\displaystyle{E_m=0,18\,\mathrm{J} }\), maksymalna prędkość masy ma wartość \(\displaystyle{v_{max}\approx0,96\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\), zaś maksymalne przyspieszenie drgań masy wynosi \(\displaystyle{a_{max}=26,25\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\).