Zadanie 6.2.2.5

Drgania ciała na sprężynie

Ciało na sprężynie wykonuje drgania harmoniczne. Amplituda drgań wynosi

$3,5\,\mathrm{cm}$ , masa ciała

$0,4\,\mathrm{kg}$ i stała

$\displaystyle{k = 300\,\mathrm{\frac{N}{m}}}$ . Ile wynosi energia mechaniczna układu? Jaka jest maksymalna prędkość masy? Jakie jest maksymalne przyspieszenie drgań masy?

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- amplituda drgań $A=3,5\,\mathrm{cm}=0,035\,\mathrm{m}$ ,
- masa ciała $m=0,4\,\mathrm{kg}$ ,
- stała sprężysości $\displaystyle{k = 300\,\mathrm{\frac{N}{m}}}$ .

Szukane:
- energia mechaniczna układu $E_m$ ,
- maksymalna prędkość masy $v_{max}$ ,
- maksymalne przyspieszenie drgań masy $a_{max}$ .

Odpowiedź

Energia mechaniczna układu wynosi $\displaystyle{E_m=0,18\,\mathrm{J} }$ , maksymalna prędkość masy ma wartość $\displaystyle{v_{max}\approx0,96\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$ , zaś maksymalne przyspieszenie drgań masy wynosi $\displaystyle{a_{max}=26,25\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}$ .

Polecenie

Wyznacz energię mechaniczną układu. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

$E_m=0,18\,\mathrm{J}$

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

$E_m=18\,\mathrm{J}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Energię mechaniczną układu wyznaczamy na podstawie definicji

$\displaystyle{E_m=\frac{1}{2}m\omega^2A^2=\frac{1}{2}kA^2 }$

$\displaystyle{E_m=\frac{1}{2}300\cdot (0,035)^2=0,18375\,\mathrm{J} }$

$\displaystyle{\mathrm{\left [ \frac{N}{m}\cdot m^2=N\cdot m=J\right ]} }$

Polecenie

Wyznacz maksymalną prędkość masy. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

$\displaystyle{v_{max}\approx0,96\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

$\displaystyle{v_{max}\approx9,6\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Maksymalną prędkość wyznaczamy ze wzoru

$\displaystyle{E_m=\frac{1}{2}mv_{max}^2}$

$\displaystyle{v_{max}=\sqrt{\frac{2E_m}{m} }}$

$\displaystyle{v_{max}=\sqrt{\frac{2\cdot 0,18}{0,4}}\approx 0,96\,\mathrm{\frac{m}{s}} }$

Polecenie

Wyznacz maksymalne przyspieszenie drgań masy. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

$\displaystyle{a_{max}=2,625\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 2

$\displaystyle{a_{max}=26,25\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}$

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Maksymalne przyspieszenie w tym ruchu wynosi

$\displaystyle{a_{max}=A\omega^2=A\frac{k}{m} }$

$\displaystyle{a_{max}=0,035\cdot\frac{300}{0,4}=26,25\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}$

Odpowiedź

Energia mechaniczna układu wynosi $\displaystyle{E_m=0,18\,\mathrm{J} }$ , maksymalna prędkość masy ma wartość $\displaystyle{v_{max}\approx0,96\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$ , zaś maksymalne przyspieszenie drgań masy wynosi $\displaystyle{a_{max}=26,25\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}$ .

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta

Zadanie 6.2.2.5

Informacja

Dane i szukane

Odpowiedź

Polecenie

Rozwiązanie

Polecenie

Rozwiązanie

Polecenie

Rozwiązanie

Odpowiedź