Zadanie 6.3.1.2
  1. Kurs obliczeniowy z fizyki
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.3. Niestandardowe problemy w ruchu drgającym.
  4. 6.3.1. Nauka
  5. Zadanie 6.3.1.2

 Zadanie 6.3.1.2

Drgania sprężyny
Wisząca pionowo sprężyna rozciągnięta jest o \(35\,\mathrm{cm}\) po podwieszeniu do niej ciała o masie \(450\,\mathrm{g}\). Ten stan jest stanem równowagi, w którym ciało jest nieruchome i przypisujemy mu wartość położenia \(x = 0\). Następnie ciało to pociągnięto w dół na odległość \(18\,\mathrm{cm}\) i puszczono swobodnie. Od tego momentu ciało to wykonuje drgania harmoniczne proste. W jakim położeniu znajdzie się to ciało po czasie \(84,4\,\mathrm{s}\)?

 Wskazówka teoretyczna

 Jak znaleść wartości amplitudy i fazy?
Na podstawie warunków początkowych można znaleźć wartości amplitudy i fazy. Warunki te określają położenie początkowe naszego ciała oraz prędkość początkową.

Ciało podwieszone do sprężyny można wprawić w ruch na kilka sposobów. Jednym z nich jest odciągnięcie w dół ciała o długość \(L_d\), a następnie zwolnienie. W takim przypadku warunki początkowe przyjmują postać

\(x(t=0)=L_d\)

\(\displaystyle{v(t=0)=\frac{\mathrm{d}x(t=0) }{\mathrm{dt}}=0 }\)

Druga z równości oznacza zerową prędkość ciała w chwili początkowej.

Można podnieć ciało do góry o \(L_g\) i następnie zwolnić. W tej sytuacji warunki początkowe maja postać

\(x(t=0)=-L_g\)

\(\displaystyle{v(t=0)=\frac{\mathrm{d}x(t=0) }{\mathrm{dt}}=0 }\)

Druga z równości oznacza zerową prędkość ciała w chwili początkowej.

Można wprawić w ruch ciało uderzając je od dołu do góry. Przed uderzeniem ciało znajdowało się w równowadze

\(x(t=0)=0\)

\(\displaystyle{v(t=0)=\frac{\mathrm{d}x(t=0) }{\mathrm{dt}}=\pm v_0 }\)

Druga z równości oznacza niezerową prędkość ciała w chwili początkowej.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- wstępne rozciągnięcie sprężyny \(x_p=35\,\mathrm{cm}=0,35\,\mathrm{m}\),
- wartość położenia równowagi po podwieszeniu ciężarka \(x = 0\),
- masa zawieszonego ciała \(m=450\,\mathrm{g}=0,45\,\mathrm{kg}\),
- dodatkowe wydłużenie sprężyny wraz z ciężarkiem \(L_d=18\,\mathrm{cm}=0,18\,\mathrm{m}\),
- przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).

Szukane:
- położenie ciała po czasie \(84,4\,\mathrm{s}\): \(x(t)\).

Analiza sytuacji

Stosunkowo łatwo wyznaczyć stałą sprężystości. Z danych w zadaniu otrzymujemy

\(F=kx_p=mg\)

\(\displaystyle{k=\frac{mg}{x_p}=\frac{0,45\cdot 10}{0,35} \,\mathrm{\frac{kg\cdot \frac{N}{kg}}{m}} }\)

\(\displaystyle{k=12,86 \,\mathrm{\frac{N}{m}}}\)

Następnie można wyznaczyć równanie opisujące sytuację przedstawioną w poleceniu, przy warunkach początkowych \(x(t=0)=L_d=0,18\,\mathrm{m}\). Prędkość możemy zapisać jako

\(\displaystyle{v(t=0)=\frac{\mathrm{d}x(t=0) }{\mathrm{dt}}=0 }\)

Uwaga: Przyjęto, że oś \(OX\) jest skierowana w dół jej początek znajduje się w początkowym położeniu nieruchomego ciała.
Jeśli jako rozwiązanie wybierzemy funkcję

\(x(t)=x_0 \sin (\omega t+\varphi_0)\)

i zastosujmy do niej przytoczone wyżej warunki początkowe to otrzymujemy kolejno

\(x(t=0)=x_0 \sin (\varphi_0)=L_d=0,18\,\mathrm{m}\)

\(\displaystyle{v(t=0)=\frac{\mathrm{d}x(t) }{\mathrm{dt}}|_{t=0}=\frac{\mathrm{d} \left [x_0 \sin (\omega t+\varphi_0)\right ] }{\mathrm{dt}}|_{t=0} }\)

\(\displaystyle{v(t=0)=x_0\omega\cos (\omega t+\varphi_0)|_{t=0}=x_0\omega\cos (\varphi_0)=0 }\)

Z ostatniego wzoru wynika, że \(\displaystyle{\varphi_0=\frac{\pi}{2} }\), a pierwszy warunek prowadzi do wartości amplitudy \(x_0=L_d=0,18\,\mathrm{m}\). Ponadto

\(\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{12,86}{0,45}}=5,35\,\mathrm{s^{-1}} }\)

Ostatecznie funkcja opisujące ruch, będąca rozwiązaniem równania ruchu, przy podanych warunkach początkowych, ma postać (w SI)

\(\displaystyle{x(t)=0,18\,\sin \left (5,35t+\frac{\pi}{2}\right ) }\)    \(\sin(90^{\circ}+\alpha)=\cos\alpha\) 

\(x(t)=0,18\cdot \cos (5,35t)\)

Rozwiązanie

Położenie po podanym czasie wynosi

\(x(t=84,4\,\mathrm{s})=0,18\cdot \cos (5,35\cdot 84,4)\approx 0,12\,\mathrm{m}\)

Odpowiedź

W podanym czasie położenie ciała wynosi \(x(t)\approx 0,12\,\mathrm{m}\).