Zadanie 6.3.1.2

Drgania sprężyny

Wisząca pionowo sprężyna rozciągnięta jest o

$35\,\mathrm{cm}$ po podwieszeniu do niej ciała o masie

$450\,\mathrm{g}$ . Ten stan jest stanem równowagi, w którym ciało jest nieruchome i przypisujemy mu wartość położenia

$x = 0$ . Następnie ciało to pociągnięto w dół na odległość

$18\,\mathrm{cm}$ i puszczono swobodnie. Od tego momentu ciało to wykonuje drgania harmoniczne proste. W jakim położeniu znajdzie się to ciało po czasie

$84,4\,\mathrm{s}$ ?

Wskazówka teoretyczna

Jak znaleść wartości amplitudy i fazy?

Na podstawie warunków początkowych można znaleźć wartości amplitudy i fazy. Warunki te określają położenie początkowe naszego ciała oraz prędkość początkową.

Ciało podwieszone do sprężyny można wprawić w ruch na kilka sposobów. Jednym z nich jest odciągnięcie w dół ciała o długość

$L_d$ , a następnie zwolnienie. W takim przypadku warunki początkowe przyjmują postać

$x(t=0)=L_d$

$\displaystyle{v(t=0)=\frac{\mathrm{d}x(t=0) }{\mathrm{dt}}=0 }$

Druga z równości oznacza zerową prędkość ciała w chwili początkowej.

Można podnieć ciało do góry o

$L_g$ i następnie zwolnić. W tej sytuacji warunki początkowe maja postać

$x(t=0)=-L_g$

$\displaystyle{v(t=0)=\frac{\mathrm{d}x(t=0) }{\mathrm{dt}}=0 }$

Druga z równości oznacza zerową prędkość ciała w chwili początkowej.

Można wprawić w ruch ciało uderzając je od dołu do góry. Przed uderzeniem ciało znajdowało się w równowadze

$x(t=0)=0$

$\displaystyle{v(t=0)=\frac{\mathrm{d}x(t=0) }{\mathrm{dt}}=\pm v_0 }$

Druga z równości oznacza niezerową prędkość ciała w chwili początkowej.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- wstępne rozciągnięcie sprężyny $x_p=35\,\mathrm{cm}=0,35\,\mathrm{m}$ ,
- wartość położenia równowagi po podwieszeniu ciężarka $x = 0$ ,
- masa zawieszonego ciała $m=450\,\mathrm{g}=0,45\,\mathrm{kg}$ ,
- dodatkowe wydłużenie sprężyny wraz z ciężarkiem $L_d=18\,\mathrm{cm}=0,18\,\mathrm{m}$ ,
- przyspieszenie ziemskie $\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }$ .

Szukane:
- położenie ciała po czasie $84,4\,\mathrm{s}$ : $x(t)$ .

Analiza sytuacji

Stosunkowo łatwo wyznaczyć stałą sprężystości. Z danych w zadaniu otrzymujemy

$F=kx_p=mg$

$\displaystyle{k=\frac{mg}{x_p}=\frac{0,45\cdot 10}{0,35} \,\mathrm{\frac{kg\cdot \frac{N}{kg}}{m}} }$

$\displaystyle{k=12,86 \,\mathrm{\frac{N}{m}}}$

Następnie można wyznaczyć równanie opisujące sytuację przedstawioną w poleceniu, przy warunkach początkowych

$x(t=0)=L_d=0,18\,\mathrm{m}$ . Prędkość możemy zapisać jako

$\displaystyle{v(t=0)=\frac{\mathrm{d}x(t=0) }{\mathrm{dt}}=0 }$

Uwaga: Przyjęto, że oś

$OX$ jest skierowana w dół jej początek znajduje się w początkowym położeniu nieruchomego ciała.
Jeśli jako rozwiązanie wybierzemy funkcję

$x(t)=x_0 \sin (\omega t+\varphi_0)$

i zastosujmy do niej przytoczone wyżej warunki początkowe to otrzymujemy kolejno

$x(t=0)=x_0 \sin (\varphi_0)=L_d=0,18\,\mathrm{m}$

$\displaystyle{v(t=0)=\frac{\mathrm{d}x(t) }{\mathrm{dt}}|_{t=0}=\frac{\mathrm{d} \left [x_0 \sin (\omega t+\varphi_0)\right ] }{\mathrm{dt}}|_{t=0} }$

$\displaystyle{v(t=0)=x_0\omega\cos (\omega t+\varphi_0)|_{t=0}=x_0\omega\cos (\varphi_0)=0 }$

Z ostatniego wzoru wynika, że

$\displaystyle{\varphi_0=\frac{\pi}{2} }$ , a pierwszy warunek prowadzi do wartości amplitudy

$x_0=L_d=0,18\,\mathrm{m}$ . Ponadto

$\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{12,86}{0,45}}=5,35\,\mathrm{s^{-1}} }$

Ostatecznie funkcja opisujące ruch, będąca rozwiązaniem równania ruchu, przy podanych warunkach początkowych, ma postać (w SI)

$\displaystyle{x(t)=0,18\,\sin \left (5,35t+\frac{\pi}{2}\right ) }$

$\sin(90^{\circ}+\alpha)=\cos\alpha$

$x(t)=0,18\cdot \cos (5,35t)$

Rozwiązanie

Położenie po podanym czasie wynosi

$x(t=84,4\,\mathrm{s})=0,18\cdot \cos (5,35\cdot 84,4)\approx 0,12\,\mathrm{m}$

Odpowiedź

W podanym czasie położenie ciała wynosi $x(t)\approx 0,12\,\mathrm{m}$ .

Zadanie 6.3.1.1

Zadanie 6.3.1.3

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta

Zadanie 6.3.1.2

Wskazówka teoretyczna

Informacja

Dane i szukane

Analiza sytuacji

Rozwiązanie

Odpowiedź