Zadanie 6.3.1.5
Ruch drgający
Znane są położenie początkowe \(x_1\), prędkość początkowa \(v_1\), przyspieszenie początkowe \(a_1\) ciała wykonującego ruch harmoniczny prosty. Dana jest częstość kątowa \(\omega\) ruchu. Wyprowadzić równania opisujące zależność położenia oraz prędkości od czasu dla podanych początkowych wartości wielkości kinematycznych.
Wskazówka teoretyczna
Teoria - ruch harmoniczny
Równanie ruchu oscylatora harmonicznego otrzymujemy z II zasady dynamiki Newtona. Porównując dwie siły \(F_{wyp}=ma\) oraz \(F_{wyp}=-kx\), otrzymujemy
lub, po podstawieniu wielkości \(\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} }\)
Rozwiązaniem tego równania jest zależność opisująca położenie:
\(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}^2x }{\mathrm{d} t^2}+\frac{k}{m}x=0 }\)
lub, po podstawieniu wielkości \(\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} }\)
\(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}^2x }{\mathrm{d} t^2}+\omega^2 x=0 }\)
Rozwiązaniem tego równania jest zależność opisująca położenie:
\(\displaystyle{x(t)=x_0\cos (\omega_0 t+\varphi)}\) lub
\(\displaystyle{x(t)=x_0\cos \left (\sqrt{\frac{k}{m}}t+\varphi\right )}\)
\(\displaystyle{x(t)=x_0\cos \left (\sqrt{\frac{k}{m}}t+\varphi\right )}\)
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- położenie początkowe \(x_1\),
- prędkość początkowa \(v_1\),
- przyspieszenie początkowe \(a_1\),
- częstość kątowa \(\omega\).
Szukane:
- równania opisujące zależność położenia oraz prędkości od czasu.
Analiza sytuacji
Rozwiązaniem równania ruchu oscylatora harmonicznego jest zależność opisująca położenie:
\(x(t)=x_0\cos (\omega t+\varphi)\)
Możemy również zapisać równanie określające prędkość drgającego ciała
\(v(t)=-x_0\omega\sin (\omega t+\varphi)\)
Po zastosowaniu zależności trygonometrycznych \[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha \cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\] \[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\] , możemy zapisać
\(x(t)=x_0\cos \omega t\cos\varphi-x_0\sin \omega t\sin\varphi \)
oraz
\(v(t)=-x_0\omega_0\left [\sin \omega t\cos\varphi+\cos \omega t\sin\varphi\right ] \)
Warunki początkowe mają postać:
\(x(t=0)=x_1=x_o\cos\varphi\)
\(v(t=0)=v_1=-x_0\omega\sin\varphi\)
\(a(t=0)=a_1=-x_0(\omega)^2\cos\varphi\)
Z dwóch ostatnich zależności wyznaczamy:
\(\displaystyle{x_0\sin\varphi=-\frac{v_1}{\omega} }\)
\(\displaystyle{-x_0\omega\cos\varphi=\frac{a_1}{\omega} }\)
Wracając do równania ruchu oscylatora harmonicznego, mamy:
\(x(t)=x_0\cos \omega t\cos\varphi-x_0\sin \omega t\sin\varphi \)
\(x(t)=(x_0\cos\varphi)\cos \omega t-(x_0\sin\varphi)\sin \omega t \)
\(\displaystyle{x(t)=x_1\cos \omega+\frac{v_1}{\omega_0}\sin \omega t }\)
Podobnie wyprowadzamy wyrażenie na prędkość
\(v(t)=-x_0\omega\left [\sin \omega t\cos\varphi+\cos \omega t\sin\varphi\right ] \)
\(v(t)=-(x_0\cos\varphi)\omega \sin \omega t-(x_0\sin\varphi)\omega \cos \omega t \)
\(v(t)=-x_1\omega \sin \omega t+v_1\cos \omega t \)
gdzie tym razem uwzględniono\(x_1=x_0\cos\varphi\)
\(v_1=-x_0\omega\sin\varphi\)
Odpowiedź
Równania opisujące zależność położenia oraz prędkości od czasu dla podanych początkowych wartości wielkości kinematycznych, mają postać:
\(\displaystyle{x(t)=x_1\cos \omega+\frac{v_1}{\omega}\sin \omega t }\)
\(v(t)=-x_1\omega \sin \omega t+v_1\cos \omega t \)