Processing math: 100%
Zadanie 6.3.2.6

 Zadanie 6.3.2.6

Skok na sprężystej linie
Skoczek o masie 65kg wykonuje skok bungee. Nierozciągnięta lina ma długość 11m. Skoczek po oderwaniu się od pomostu spada w dół i po przebyciu 36m zaczyna być wciągany do góry. Taki skok składa się ze swobodnego spadku z wysokości 11m, a następnie przez 25m skoczek jest hamowany przez rozciągająca się linę. Jeśli wartość siły z jaką lina działa na ciało jest proporcjonalna do jej wydłużenia, to ten fragment skoku można uważać za ruch harmoniczny. Jak długo trwa swobodny spadek skoczka? Wyznaczyć współczynnik sprężystości liny. Na jakiej głębokości skoku wypadkowa wszystkich sił wynosi zero?

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- masa skoczka m=65kg,
- długość liny l=11m,
- maksymalna głębokość skoku H=36m,
- rozciągnięcie liny x=25m,
- przyspieszenie ziemskie g=10ms2.

Szukane:
- czas spadku swobodnego t,
- współczynnik sprężystości liny k,
- głębokości skoku, dla której wypadkowa wszystkich sił wynosi zero xg.

Odpowiedź

Spadek swobodny trwa 1,48s, współczynnik sprężystości liny wynosi k=74,88Nm. Głębokość, na której wypadkowa wszystkich sił wynosi zero to 19,68m.

Polecenie

Wyznacz czas spadku swobodnego skoczka. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

t=0,51s

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

t=0,93s

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

t=1,48s

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 4 z 4

t=2,03s

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Ten problem jest dość złożony. Skoczek, poddany sile ciężkości, najpierw spada swobodnie przebywając odległość l=11m, kiedy to lina nie rozciąga się. Począwszy od tej głębokości na skoczka oprócz siły ciężkości zaczyna oddziaływać siła sprężystości rozciągającej się liny. Skutkiem tego ruch skoczka staje się ruchem opóźnionym niejednostajnym, aż do momentu osiągnięcia najniższego położenia, które dzieli od miejsca skoku 36m. Po drodze mija miejsce, w którym wypadkowa siła jest równa zeru. Miejsce to jest położeniem xr, wokół którego odbywają się drgania i ruch skoczka. Następnie skoczek zaczyna poruszać się w górę ruchem niejednostajnie przyspieszonym, osiąga ponownie punkt xr i kontynuuje ruch w górę. Gdy znajdzie się w odległości 11m od miejsca zeskoku, linka przestaje być naprężoną, ale skoczek – przy założeniu zachowania energii – podnosi się do miejsca, z którego rozpoczął skok bungee. Następnie opisany ruch powtarza się.

Rysunek


Policzymy czas spadku swobodnego ze wzoru l=12gt2

t=2lg

t=21110=1,48s

Polecenie

Wyznacz współczynnik sprężystości liny. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

k=11,12Nm

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

k=23,21Nm

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

k=53,21Nm

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

k=74,88Nm

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Podczas skoku skoczek spada w dół na głębokość H=36m, przy czym lina rozciąga się o x=25m. Z zasady zachowania energii możemy wyznaczyć stałą sprężystości linki

mgH+12kx2=0

k=2mgHx2

k=2651036252=74,88Nm

Polecenie

Oblicz na jakiej głębokości skoku wypadkowa wszystkich sił wynosi zero. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

xr=17,25m

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

xr=19,68m

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 3 z 4

xr=21,68m

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

xr=28,25m

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Obliczymy obecnie na jakiej głębokości skoku wypadkowa siła jest równa zeru. W tym celu wyznaczamy wartość rozciągnięcia xr liny, dla której zachodzi równość

mg=kxr

xr=mgk

xr=651074,88=8,68m

Oznacza to, że na głębokości xg=11+8,68=19,68m ma miejsce zrównoważenie się wszystkich sił i jest to punkt wokół, którego odbywają się drgania skoczka.

Odpowiedź

Spadek swobodny trwa 1,48s, współczynnik sprężystości liny wynosi k=74,88Nm. Głębokość, na której wypadkowa wszystkich sił wynosi zero to 19,68m.