Zadanie 6.4.2.3
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.4. Drgania tłumione, wymuszone i złożone.
  4. 6.4.2. Trening
  5. Zadanie 6.4.2.3

 Zadanie 6.4.2.3

Rezonans
Po drodze gruntowej przejechał ciągnik pozostawiając ślady w postaci wgłębień w odległości \(30\,\mathrm{cm}\) od siebie. Przez tą drogę przejechał wózek o ciężarze \(100\,\mathrm{N}\), mający dwa resory (każdy resor ugina się o \(2\,\mathrm{cm}\) pod wpływem siły \(10\,\mathrm{N}\). Z jaką prędkością jechał wózek, jeśli w skutek wstrząsów wpadł w rezonans?

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- odległość między wgłębieniami na drodze \(l=30\,\mathrm{cm}=0,3\,\mathrm{m}\),
- ciężar wózka \(P=100\,\mathrm{N}\),
- ugięcie pojedynczego resora \(x_0=2\,\mathrm{cm}=0,02\,\mathrm{m}\),
- siła powodująca ugięcie pojedynczego resora \(F_0=10\,\mathrm{N}\),
- przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).

Szukane:
- prędkość z jaką jechał wózek, jeśli w skutek wstrząsów wpadł w rezonans \(v\).

Odpowiedź

Wózek jechał z prędkością \(\displaystyle{v=0,48 \,\mathrm{\frac{m}{s}}}\).

Polecenie

Wybierz jedno prawidłowe stwierdzenie, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Stwierdzenie 1 z 2

Wózek wpadł w rezonans, a więc musiał on napotkać kolejne wgłębienia w odstępach czasu równych okresowi drgań własnych wózka.

Odpowiedź prawidłowa

Stwierdzenie 2 z 2

Resory wózka tworzą układ równoległych sprężyn, stąd wynika, że \(k_1=k_2\), gdzie \(k_1\) i \(k_2\) są współczynnikami sprężystości pojedynczego resora.

Odpowiedź nieprawidłowa
Wózek wpadł w rezonans, a więc musiał on napotkać kolejne wgłębienia w odstępach czasu równych okresowi drgań własnych wózka. Fakt ten pozwala na użycie zależności

\(\displaystyle{T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} }\)
 
Resory wózka tworzą układ równoległych sprężyn, stąd wynika, że \(k=2k_0\), gdzie \(k_0\) jest współczynnikiem sprężystości pojedynczego resora. Możemy zapisać

\(\displaystyle{k_0=\frac{F_0}{x_0} }\)

Polecenie

Oblicz prędkość z jaką jechał wózek. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(\displaystyle{v=0,48 \,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

\(\displaystyle{v=1,4 \,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Okres drgań wózka wyznaczamy ze wzoru

\(\displaystyle{T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{m}{2k_0}}=2\pi\sqrt{\frac{P}{2k_0g}} }\)

\(\displaystyle{T=2\pi\sqrt{\frac{Px_0}{2gF_0}} }\)

gdzie \(\displaystyle{m=\frac{P}{g} }\) jest masą wózka, współczynnik sprężystości: \(\displaystyle{k_0=\frac{F_0}{x_0} }\)

Jeśli wózek jechał ze stałą prędkością \(v\), to kolejne wgłębienia odległe o \(l\) będzie napotykać w odcinku czasu równych \(l/v\). Aby powstał rezonans musi więc zachodzić \(\displaystyle{T=\frac{l}{v} }\)

\(\displaystyle{T=2\pi\sqrt{\frac{Px_0}{2gF_0}}=\frac{l}{v} }\)

\(\displaystyle{v\sqrt{\frac{Px_0}{2gF_0}}=\frac{l}{2\pi} }\)

\(\displaystyle{v=\frac{l}{2\pi}\sqrt{\frac{2gF_0}{Px_0}} }\)

\(\displaystyle{v=\frac{0,3}{2\pi}\sqrt{\frac{2\cdot 10\cdot 10}{100\cdot 0,02}}=0,48 \,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź

Wózek jechał z prędkością \(\displaystyle{v=0,48 \,\mathrm{\frac{m}{s}}}\).