Zadanie 6.8.1.1

Superpozycja dwóch fal

Dwie fale rozchodzące się wzdłuż osi

$x$ i opisane następującymi równaniami:

$u_1(x,t)=0,3\cos(4x+20t)$ w SI oraz

$\displaystyle{u_2(x,t)=0,2\cos(4x+20t+\frac{\pi}{3}})$ w SI interferują ze sobą. Wyznacz fazę początkową i amplitudę fali wypadkowej.

Wskazówka teoretyczna

Teoria - zasada superpozycji fal

Jeżeli dwie fale (więcej fal) przebiegają przez ten sam obszar przestrzeni, to przemieszczenie dowolnej cząstki w ustalonej chwili czasu jest sumą przemieszczeń, które wywołałyby poszczególne fale.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- równanie pierwszej fali $u_1(x,t)=0,3\cos(4x+20t)$ w SI,
- równanie drugiej fali $\displaystyle{u_2(x,t)=0,2\cos(4x+20t+\frac{\pi}{3}})$ w SI.

Szukane:
- faza początkowa fali wypadkowej $\delta$ ,
- amplituda fali wypadkowej $A$ .

Rozwiązanie

W myśl zasady superpozycji fala wypadkowa będzie sumą interferujących fal:

$u(x,t)=u_1(x,t)+u_2(x,t)$

Dla uproszczenia obliczeń zapiszemy równania fal składowych jako:

$u_1(x,t)=0,3\cos\Phi$ oraz

$\displaystyle{u_2(x,t)=0,2\cos(\Phi+\frac{\pi}{3})}$

gdzie

$\Phi=4x+20t$

Fale składowe różnią się tylko amplitudą i fazą początkową, więc fala wypadkowa będzie miała postać:

$\displaystyle{u(x,t)=A\cos(\Phi+\frac{\pi}{3})}$ ,

gdzie

$A$ jest amplitudą wypadkową.

Równanie opisujące interferencje fal, ma postać (

$\delta$ - fazą początkową):

$\displaystyle{A\cos(\Phi+\delta)=0,3\cos\Phi+0,2\cos(\Phi+\frac{\pi}{3}) }$

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

$\displaystyle{A(\cos\Phi\cos\delta-\sin\Phi\sin\delta)=0,3\cos\Phi+0,2(\cos\Phi\cos\frac{\pi}{3}-\sin\Phi\sin\frac{\pi}{3}) }$

$\displaystyle{A\cos\Phi\cos\delta-A\sin\Phi\sin\delta=(0,3+0,2\cdot \cos\frac{\pi}{3})\cos\Phi-0,2\sin\Phi\sin\frac{\pi}{3} }$

$\displaystyle{A\cos\Phi\cos\delta-A\sin\Phi\sin\delta=0,4\cos\Phi-\frac{\sqrt{3}}{10}\sin\Phi }$

Należy teraz porównać, znajdujące się po obu stronach znaku równości wyrażenia przy

$\cos\Phi$ oraz przy

$\sin\Phi$ , gdyż powyższa równość musi być prawdziwa dla dowolnej wartości

$\Phi$ . Otrzymujemy w ten sposób układ dwóch równań:

$\begin{eqnarray} \begin{cases} A\cos\delta &=0,4\\ A\sin\delta &=\frac{\sqrt{3}}{10} \end{cases} \end{eqnarray}$

Dzieląc powyższe równania stronami, możemy wyznaczyć fazę początkową fali wypadkowej

$\displaystyle{\frac{A\sin\delta}{A\cos\delta}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{10}}{0,4} }$

$\displaystyle{\operatorname{tg}{\delta}=\frac{\sqrt{3}}{10}\cdot \frac{10}{4}=0,43301 }$

Faza początkowa fali wypadkowej wynosi

$\delta=23,4^{\circ}$

Podnosząc do kwadratu równania z powyższego układu równań i dodając je stronami, otrzymujemy:

$A^2\sin^2\delta+A^2\cos^2\delta=0,16+0,03$

$A^2=0,19$

$A=0,44$

Równanie fali wypadkowej ma postać

$u(x,t)=0,44\cos(4x+20t+0,4086)$ w SI.

Metoda graficzna

Zadanie to można również rozwiązać metodą graficzną, wiążąc z każdą z fal wypadkowych obracający się wektor o długości równej amplitudzie fali. W naszym przypadku długości obracających się wektorów wynoszą $A_1=0,3$ i $A_2=0,2$ . Kąt między obracającymi się wektorami jest równy różnicy faz pomiędzy interferującymi falami, czyli w tym przypadku $\displaystyle{\frac{\pi}{3} }$

Amplitudę fali wypadkowej znajdziemy stosując twierdzenie cosinusów dla dowolnego z dwóch trójkątów o bokach

$A$ ,

$A_1$ i

$A_2$ :

$\displaystyle{A^2=A_1^2+A_2^2-2\cdot A_1\cdot A_2\cdot\cos\frac{2}{3}\pi }$

$\displaystyle{A^2=0,3^2+0,2^2+2\cdot 0,3\cdot 0,2\cdot\frac{1}{2} }$

$A^2=0,13+0,06=0,19$

$A=0,44$

Kąt

$\delta$ znajdziemy stosując twierdzenie sinusów:

$\displaystyle{\frac{0,2}{\sin\delta}=\frac{\sqrt{0,19}}{\sin\frac{2}{3}\pi} }$

$\displaystyle{\sin\delta=\frac{0,2\cdot\sin\frac{2}{3}\pi}{\sqrt{0,19}}=0,39736}$

Faza początkowa fali wypadkowej wynosi

$\delta=0,4086\,\mathrm{rad}=23,4^{\circ}$

Odpowiedź

Faza początkowa fali wypadkowej wynosi $\delta=0,4086\,\mathrm{rad}=23,4^{\circ}$ , zaś amplituda tej fali ma wartość $A=0,44$ .

6.8.1. Nauka

Zadanie 6.8.1.2

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta