Zadanie 6.8.2.1
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.8. Interferencja i dyfrakcja
  4. 6.8.2. Trening
  5. Zadanie 6.8.2.1

 Zadanie 6.8.2.1

Superpozycja dwóch fal
Dwa spójne źródła fal dźwiękowych jednakowej mocy znajdują się w następujących odległościach od mikrofonu \(l_1=2,5\,\mathrm{m}\) oraz \(l_2=2,4\,\mathrm{m}\). Wyznacz związek amplitudy drgań wypadkowych z amplitudą drgań składowych, jeżeli długość fali wynosi \(\lambda=0,3\,\mathrm{m}\). Przyjmij, że fale są płaskie.

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- odległość źródła pierwszego od mikrofonu \(l_1=2,5\,\mathrm{m}\),
- odległość źródła drugiego od mikrofonu \(l_2=2,4\,\mathrm{m}\),
- długość fali \(\lambda=0,3\,\mathrm{m}\).

Szukane:
- związek pomiędzy amplitudą drgań wypadkowych a amplitudą drgań składowych.

Odpowiedź

Związek pomiędzy amplitudą drgań wypadkowych a amplitudą drgań składowych ma postać \(A_w=\sqrt{3}A\).

Polecenie

Zapisz równania drgań składowych. Wybierz jeden prawidłowy zestaw równań spośród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(u_1(x,t)=A\cos(\omega t-kl_1)=A\cos\Phi_1\)

\(u_2(x,t)=A\cos(\omega t-kl_2)=A\cos\Phi_2\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

\(u_1(t)=A\cos(\omega t)=A\cos\Phi_1\)

\(u_2(t)=A\cos(\omega t)=A\cos\Phi_2\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Drgania membrany mikrofonu są złożeniem drgań wywołanych przez obydwie fale. Jeżeli źródła są spójne (drgają w fazie) to drgania membrany są złożeniem drgań postaci

\(u_1(x,t)=A\cos(\omega t-kl_1)=A\cos\Phi_1\)

\(u_2(x,t)=A\cos(\omega t-kl_2)=A\cos\Phi_2\)

gdzie \(\omega\) jest częstością drgań źródeł fal dźwiękowych, \(\displaystyle{k=\frac{2\pi}{\lambda} }\) liczbą falową, a \(\lambda\) długością rozchodzącej się fali dźwiękowej. Założyliśmy, że faza początkowa drgań źródeł równa jest zeru. Źródła fal dźwiękowych mają jednakową moc, a emitowane fale są płaskie, więc natężenia fal dochodzących do membrany są takie same. Ponieważ natężenie fal jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy drgań, to także amplitudy drgań składowych będą jednakowe.

Polecenie

Wyznacz związek amplitudy drgań wypadkowych z amplitudą drgań składowych. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(A_w=\sqrt{3}A\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

\(A_w=2\sqrt{3}A\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

W zadaniu mamy złożenie dwóch drgań o tych samych amplitudach i różnych fazach

\(u_1(x,t)=A\cos(\omega t-kl_1)=A\cos\Phi_1\)

\(u_2(x,t)=A\cos(\omega t-kl_2)=A\cos\Phi_2\)

Różnica faz drgań składowych membrany mikrofonu wynosi

\(\displaystyle{\Delta\Phi=\Phi_1-\Phi_2=\frac{2\pi}{\lambda}(l_1-l_2) }\)

\(\displaystyle{\Delta\Phi=\frac{2\pi}{0,3}\cdot 0,1=\frac{2}{3}\pi }\)

Ze wzoru na amplitudę wypadkową dwóch drgań równoległych, mamy

\(A_w=\sqrt{A^2+A^2-2A\cdot A\cos\Delta\Phi}\)
 \[A_w=\sqrt{2A^2-2A^2\cdot \cos\Delta\Phi}\] \[A_w=\sqrt{2}A\sqrt{1-\cos\Delta\Phi}\] \[\displaystyle{A_w=\sqrt{2}A\sqrt{1-\cos\frac{2}{3}\pi} }\] \[\displaystyle{A_w=\sqrt{2}A\sqrt{1+\frac{1}{2}} }\] 
\(A_w=\sqrt{3}A\)

Odpowiedź

Związek pomiędzy amplitudą drgań wypadkowych a amplitudą drgań składowych ma postać \(A_w=\sqrt{3}A\).