Processing math: 100%
Zadanie 7.2.1.4

 Zadanie 7.2.1.4

Metoda superpozycji źródeł
Oblicz wartości trzech prądów płynących w obwodzie przedstawionym na schemacie metodą superpozycji.
Dane: R1=R4=100Ω, R2=R3=400Ω, UA=20V, UB=4V.

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - metoda superpozycji
Ponieważ równania Maxwella są liniowe (względem napięć, prądów, ładunków i natężeń pól, które opisują), więc przy analizie układów elektrycznych obowiązuje zasada superpozycji. Wedle zasady superpozycji możemy rozważać skutki pojedynczego źródła (wymuszenia) przez proste usunięcie pozostałych źródeł; poprzez wyzerowanie (zwarcie) źródeł napięcia i wyzerowanie (rozwarcie) źródeł prądowych. Następnie, aby obliczyć prąd lub napięcie na jakimś elemencie, po prostu sumujemy wkłady od poszczególnych źródeł (wymuszeń).

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- wartości rezystancji:R1=R4=100Ω, R2=R3=400Ω,
- napięcia źródeł: UA=20V, UB=4V.

Szukane:
- prądy: I1, I2, I3.

Analiza sytuacji

Rozwiązanie zadania zacznijmy od narysowania kierunków płynących prąd. W układzie mamy dwa źródła. Załóżmy, że wymuszają one kierunek prądu w gałęzi w której się znajdują. Oba źródła wymuszają prądy płynące "w dół schematu" - w stronę węzła między rezystorami R3 i R4. W zasadzie to w takim przypadku dwa prądy wpływają do węzła więc według I prawa Kirchhoffa prąd płynący przez rezystor R3 musi wypływać z tego węzła. W taki sposób określiliśmy wstępnie kierunki płynięcia prądów w układzie. Założone kierunki mogą być inne niż w rzeczywistości. To jak płyną prądy w tym układzie dowiemy się na koniec obliczeń. Jeżeli nieprawidłowo określimy kierunek płynięcia prądu to w obliczeniach otrzymamy wartość ujemną tego prądu.



Z I prawa Kirchhoffa, dla obu węzłów mamy to samo równanie:
I1+I2=I3
Metoda superpozycji wymaga podzielenia schematu na tyle ile mamy źródeł w układzie, tak aby za każdym razem było tylko jedno źródło. W tym przypadku będą dwa pomocnicze schematy. W jednym będzie tylko źródło UA, w drugim tylko źródło UB.

Rozwiązanie - układ A

Po usunięciu ze schematu źródła UB na nowo określamy kierunki płynięcia prądów. Kierunki te pokazane są na poniższym schemacie.



I prawo Kirchhoffa będzie miało postać: I1a=I2a+I3a

W następnym kroku wyznaczamy rezystancję zastępczą tego układu
Rza=R1+R4+R2R3R2+R3
Rza=100+100+400400400+400=400Ω
Prąd I1a będzie płyną przez rezystancję zastępczą Rza, więc z prawa Ohma mamy I1a=UARza
I1a=20400=0,05A
Rezystory R2 oraz R3 połączone są równolegle, więc U2=U3 i dalej
I3aR3=I2aR2
Wartości rezystancji R2 oraz R3 są takie same, więc w tym przypadku I3a=I2a

Wracając do I prawa Kirchhoffa możemy zapisać I1a=I2a+I3a=2I2a i stąd I2a=I1a0,5=0,025A.
Wartości prądów są następujące
{I1a=0,05AI2a=0,025AI3a=0,025A

Rozwiązanie - układ B

Po usunięciu ze schematu źródła UA na nowo określamy kierunki płynięcia prądów. Kierunki te pokazane są na poniższym schemacie.



I prawo Kirchhoffa będzie miało postać: I2ba=I1b+I3b

W następnym kroku wyznaczamy rezystancję zastępczą tego układu
Rzb=R2+(R1+R4)R3R1+R4+R3
Rzb=400+(100+100)400100+100+400=16003Ω
Prąd I2b będzie płyną przez rezystancję zastępczą Rzb, więc z prawa Ohma mamy I2b=UBRzb
I2b=416003=0,0075A
Rezystory R1 i R4 połączone są szeregowo, można więc zastąpić je jednym R14=R1+R4. Rezystor R14 oraz R3 połączone są równolegle, więc U14=U3 i dalej
I1bR14=I3bR3I1b200=I3b400I1b=2I3b
Wracając do I prawa Kirchhoffa możemy zapisać I2b=I1b+I3b=2I3b+I3b=3I3b i stąd I3b=I2b13=0,0025A.
Wartości prądów są następujące
{I1b=0,005AI2b=0,0075AI3b=0,0025A

Rozwiązanie

Kierunki i wartości prądów płynących w układzie A oraz B pomogą nam obliczyć natężenie prądów: I1, I2 oraz I3 płynących w układzie. Prąd płynący w gałęzi pierwszej I1 skierowany jest w dół, tak jak prąd w tej samej gałęzi w układzie A. Prąd płynący zaś w układzie B jest skierowany ku górze. Widać, że prądy wymuszone przez różne źródła są skierowane przeciwnie. Sumując je musimy temu przeciwnie skierowanemu do I1 przypisać znak minus. Równanie dla tej gałęzi ma postać I1=I1aI1b. Podobnie postępujemy dla kolejnych gałęzi:
{I1=I1aI1bI2=I2bI2aI3=I3a+I3b
{I1=0,050,005=0,045AI2=0,00750,025=0,0175AI3=0,025+0,0025=0,0275A
Prąd I2 ma wartość ujemną. Oznacza to, że płynie on w przeciwnym kierunku w stosunku do tego co na początku założyliśmy. Poniżej zaznaczone są kierunku prądów płynących w układzie.

Odpowiedź

Wartości prądów płynących w układzie: I1=45mA, I2=17,5mA, I3=27,5mA.