Zadanie 7.2.1.5

Dzielnik napięcia

Na wejściu dzielnika napięcia, przedstawionego na schemacie, doprowadzono napięcie

$U_{we}=30\,\mathrm{V}$ .
a) Ile wynosi napięcie na wyjściu dzielnika?
b) Ile wynosi stosunek napięć

$\displaystyle{\frac{U_{wy}}{U_{we}}}$ ?
c) Czy po włączeniu włącznika

$P$ napięcie

$U_{wy}$ ulegnie zmianie? Ile, w takim przypadku, będzie wynosić stosunek

$\displaystyle{\frac{U_{wy}}{U_{we}}}$ ?
Wartości elementów:

$R_1 = 200\,\mathrm{\Omega}$ ,

$R_2 = 100\,\mathrm{\Omega}$ ,

$R_3 = 100\,\mathrm{\Omega}$ .

Rysunek

Wskazówka teoretyczna

Teoria - dzielnik napięcia

Dzielnik napięcia – czwórnik, który zapewnia uzyskanie określonego stosunku pomiędzy napięciem wejściowym

$U_{we}$ a wyjściowym

$U_{wy}$ . Dzielniki napięć buduje się z elementów pasywnych (np. rezystory, kondensatory lub cewki).

Dla dzielnika przedstawionego na schemacie, stosunku pomiędzy napięciami wynosi:

$\displaystyle{\frac{U_{wy}}{U_{we}}=\frac{R_{wy}}{R+R_{wy}}}$

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- wartości rezystorów: $R_1 = 200\,\mathrm{\Omega}$ , $R_2 = 100\,\mathrm{\Omega}$ , $R_3 = 100\,\mathrm{\Omega}$ ,
- napięcie na wejściu dzielnika: $U_{we}=30\,\mathrm{V}$ .

Szukane:
- napięcie na wyjściu dzielnika (gdy w układzie nie jest podłączony rezystor $R_3$ ): $U_{wy}$ ,
- stosunek napięć (gdy w układzie nie jest podłączony rezystor $R_3$ ): $\displaystyle{\frac{U_{wy}}{U_{we}}}$ ,
- napięcie na wyjściu dzielnika (gdy w układzie jest podłączony rezystor $R_3$ ): $U_{2wy}$
- stosunek napięć (gdy w układzie jest podłączony rezystor $R_3$ ): $\displaystyle{\frac{U_{2wy}}{U_{we}}}$ .

Analiza sytuacji

W przypadku, gdy w układzie nie jest podłączony rezystor $R_3$ , prąd płynący w gałęzi, w której mammy rezystory $R_1$ oraz $R_2$ , wynosi
$\displaystyle{I=\frac{U_{we}}{R_1+R_2}}$
Napięcie mierzone na rezystorze $R_2$ wyniesie $U_{wy}=I\cdot R_2$ , a stąd mamy:
$\displaystyle{I=\frac{U_{wy}}{R_2}}$
Możemy zatem zapisać, że
$\displaystyle{\frac{U_{wy}}{R_2}=\frac{U_{we}}{R_1+R_2}}$
Napięcie na wyjściu dzielnika możemy obliczyć na podstawie wzoru:
$\displaystyle{U_{wy}=U_{we}\frac{R_2}{R_1+R_2}}$
Widzimy, że wyrażenie $\displaystyle{\frac{R_2}{R_1+R_2}}$ pełni rolę współczynnika od którego zależy to, ile napięcie na wyjściu dzielnika będzie mniejsze od napięciu na wejściu dzielnika.

Po włączeniu rezystora $R_3$ (przełącznika $P$ włączony) układ dzielnika ulegnie zmianie. W tej sytuacji mamy połączenie równoległe rezystorów $R_2$ z $R_3$ . Można wyznaczyć rezystancję zastępczą dla tych rezystorów:
$\displaystyle{R_{23}=\frac{R_2\cdot R_3}{R_2+R_3} }$
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy: $\displaystyle{R_{23}=\frac{100\cdot 100}{100+100}=50\,\mathrm{\Omega}}$
Teraz mamy już standardowy układ dzielnika.

Rozwiązanie

Punkt a)

Napięcie na wyjściu dzielnika (gdy w układzie nie jest podłączony rezystor $R_3$ ) wynosi
$\displaystyle{U_{wy}=U_{we}\frac{R_2}{R_1+R_2}=30\,\frac{100}{100+200}=30\cdot \frac{1}{3}=10\,\mathrm{V} }$
Punkt b)

Stosunek napięcia wyjściowego do wejściowego wynosi $\displaystyle{\frac{U_{wy}}{U_{we}}= \frac{10\,\mathrm{V}}{30\,\mathrm{V}}=\frac{1}{3}}$ .

Punkt c)

Po włączeniu $R_3$ , napięcie na wyjściu dzielnika wyniesie
$\displaystyle{U_{2wy}=U_{we}\frac{R_{23}}{R_1+R_{23}}=30\,\frac{50}{200+50}=30\cdot \frac{1}{5}=6\,\mathrm{V} }$
Stosunek napięcia wyjściowego do wejściowego wynosi
$\displaystyle{\frac{U_{2wy}}{U_{we}}= \frac{6\,\mathrm{V}}{30\,\mathrm{V}}=\frac{1}{5}}$
Jak widzimy napięcie wyjściowe po podłączeniu rezystora $R_3$ musi ulec zmianie, ponieważ współczynnik podziału napięć zależy ode wartości rezystorów tworzących dzielnik. Przyłączenie równoległe do opornika $R_2$ opornika $R_3$ zmienia układ dzielnika. Tak powstały układ jest równoważny sytuacji, w której rezystor $R_2 = 100\,\mathrm{\Omega}$ zastępujemy rezystorem o oporności $50\,\mathrm{\Omega}$ .

Odpowiedź

Przed podłączeniem rezystora $R_3$ , napięcie na wyjściu dzielnika wynosi $U_{wy}=10\,\mathrm{V}$ , a stosunek napięć: $\displaystyle{\frac{U_{wy}}{U_{we}}=\frac{1}{3} }$ . Po włączeniu włącznika $P$ napięcie wyjściowe wynosi $U_{2wy}=6\,\mathrm{V}$ , a stosunek napięć: $\displaystyle{\frac{U_{2wy}}{U_{we}}=\frac{1}{5} }$ .

Zadanie 7.2.1.4

Zadanie 7.2.1.6

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta