Zadanie 7.2.1.7
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 7. Elektryczność
  3. 7.2. Obwody prądu stałego
  4. 7.2.1. Nauka
  5. Zadanie 7.2.1.7

 Zadanie 7.2.1.7

Podgrzewanie
Grzałką o rezystancji \(16\,\Omega\) podgrzewano \(2\,\mathrm{kg}\) wody. Temperatura początkowa wody wynosiła \(20^{\circ}\mathrm{C}\). Ile ciepła spowoduje podgrzanie wody do temperatury \(100^{\circ}\mathrm{C}\)?. Po jakim czasie grzałka o mocy \(2\,\mathrm{kW}\) doprowadzi do wrzenia wodę oraz jaka będzie wartość natężenia prądu płynącego przez grzałkę? Ciepło właściwe wody wynosi \(\displaystyle{4,2\cdot10^3\mathrm{\frac{J}{kg^{\circ}C} } }\).

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - ciepło pobrane
Ciepło \(Q\) określa ilość energii wewnętrznej wymienionej między ciałami, które nie znajdują się w równowadze termicznej. Dostarczenie ciepła do ciała może spowodować wzrostem jego temperatury. Dzieje się tak, kiedy ciało nie podlega przemianie fazowej. W takim przypadku można zapisać:
\[Q=mc_w\left (T_k-T_p\right )\]
gdzie: \(m\) - masa podgrzewanego ciała, \(T_p\) - temperatura początkowa, \(T_k\) - temperatura końcowa, \(c_w\) - ciepło właściwe.

Ciepło właściwe \(c_w\) jest parametrem charakterystycznym dla danej substancji w danej temperaturze. Określa ile ciepła potrzeba do podgrzania \(1\,\mathrm{kg}\) tej substancji o \(1^{\circ}\mathrm{C}\).

 Wskazówka teoretyczna

Teoria - prawo Joule'a-Lenza
Prawo Joule'a-Lenza opisuje ilość wydzielonego ciepła na rzeczywistym oporze w obwodzie prądu elektrycznego.

Nośniki prądu stałego przepływając przez, np. rezystor zmniejszają swoją energię potencjalną, ponieważ poruszają się one od potencjału wyższego do niższego. Płynący prąd jest stały, więc nie zmienia się energia kinetyczna nośników. Rośnie natomiast energia wewnętrzna odbiornika prądu, ponieważ nośniki oddziałują a atomami, jonami, itp. Wzrost energii wewnętrznej powoduje wzrost temperatury odbiornika. 

Skoro elektrony tracą energię potencjalną, a nie zyskują energii kinetycznej, to stwierdzamy, że musi istnieć siła \(F_r\), rozpraszająca energię potencjalną, działająca na długości \(d\) przewodnika. Wartość siły \(F_r\) jest równa wartości siły elektrycznej \(F_e=qE\) działającej na chmurę elektronów o całkowitym ładunku \(q\).
\[\left | Q \right |=\left | W \right |=F_r\cdot d=qEd=q U=ItU\]
Ostatecznie otrzymujemy:
\[Q=I^2\cdot R\cdot t\]
gdzie: \(I\) - natężenie prądu, \(R\) - rezystancja odbiornika, \(t\) - czas płynięcia prądu.

 Wskazówka teoretyczna

Treść - moc w obwodach prądu stałego
Jeżeli przez odbiornik przepływa prąd o natężeniu \(I\), a napięcie na odbiorniku wynosi \(U\) to zmiana energii potencjalnej ładunku \(\mathrm{d}q\) przepływającego przez odbiornik (od punktu \(A\) do \(B\)) wynosi
\[\mathrm{d} W=U\mathrm{d} q\]
Szybkość zmian energii przedstawia zależność
\[\displaystyle{\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d} t}=U\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d}t}}\]
Moc \(P\) prądu elektrycznego wynosi
\[\displaystyle{P=UI=I^2R=\frac{U^2}{R}}\]

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- masa podgrzewanej wody \(m=2\,\mathrm{kg}\),
- temperatura początkowa \(T_p=20^{\circ}\mathrm{C}\),
- temperatura końcowa \(T_k=100^{\circ}\mathrm{C}\),
- moc grzałki elektrycznej \(P=2\,\mathrm{kW}\),
- rezystancja grzałki \(R=16\,\Omega\),
- ciepło właściwe wody \(\displaystyle{4,2\cdot10^3\mathrm{\frac{J}{kg^{\circ}C} } }\).

Szukane:
- ciepło pobrane przez wodę podczas podgrzewania \(Q\),
- czas, po jakim woda osiągnie temperaturę \(T_k\): \(t\),
- natężenie prądu płynącego przez grzałkę \(I\).

Analiza sytuacji

Podczas ogrzewania wody grzałką elektryczną, energia elektryczna zamieniana jest na energię wewnętrzną, która jest odpowiedzialna za wzrost temperatury wody. Im większa jest różnica pomiędzy temperaturą początkową \(T_p\) a końcową \(T_k\), tym więcej ciepła należy dostarczyć do układu. Ilość ciepła możemy wyznaczyć z zależności:
\[Q=mc_w\left (T_k-T_p\right )\]
Dostarczone ciepło do układu można również wyznaczyć z prawa Joule'a-Lenza
\[Q=I^2\cdot R\cdot t\]
Prawo to opisuje ilość wydzielonego ciepła na rzeczywistym oporze w obwodzie prądu elektrycznego, więc w tym przypadku możemy zapisać je jako
\[Q=P\cdot t\]

Rozwiązanie

Ciepło pobrane przez wodę podczas podgrzewania wynosi
\[Q=mc_w\left (T_k-T_p\right )=2\cdot 4,2\cdot 10^3\cdot (100-20)=672\,\mathrm{kJ} \]
Następnie obliczamy czas potrzebny na zagotowania wody
\[Q=P\cdot t\]
\[\displaystyle{t=\frac{Q}{P}=\frac{672\cdot 10^3}{2\cdot 10^3}=336\,\mathrm{s}=5,6\,\mathrm{min} }\]
Natężenie prądu płynącego przez grzałkę wynosi
\[P=I^2R\]
\[\displaystyle{I=\sqrt{\frac{P}{R}}=\sqrt{\frac{2000}{16}}\approx11,2\,\mathrm{A} }\]

Odpowiedź

Ciepło pobrane przez wodę podczas podgrzewania wynosi \(Q=672\,\mathrm{kJ} \), woda osiągnie temperaturę \(100^{\circ}\,\mathrm{C}\) po \(5,6\,\mathrm{min}\). Natężenie prądu płynącego przez grzałkę wynosi \(I=11,2\,\mathrm{A}\).