Do szeregowego dwójnika \(RL\) włączono źródło prądu przemiennego \(i(t)=I_m\sin(\omega t)\). Wyznacz funkcję określającą zmiany napięcia w czasie. Narysuj przebiegi czasowe oraz wykresy wskazowe spadków napięć na elementach \(R\) i \(L\) oraz prądu przez nie płynącego.
Wskazówka teoretyczna
Teoria - wybrane informacje
Szersze wprowadzenie teoretyczne znajduje się w zakładce "Teoria". Dotyczy ono zastosowania liczb zespolonych.
II prawo Kirchhoffa, dla rezystora i cewki indukcyjnej połączonych szeregowo:
\(\displaystyle{u(t)=u_R(t)+u_L(t) }\) lub \(\displaystyle{\overset{U}{\_}=\overset{U}{\_}_R+\overset{U}{\_}_L }\)
\(u_R(t)\) lub \(\displaystyle{\overset{U}{\_}_R}\) jest spadkiem napięcia na rezystorze, \(u_L(t)\), \(\displaystyle{\overset{U}{\_}_L}\) - napięcie na cewce indukcyjnej
Napięcie chwilowe na cewce indukcyjnej o indukcyjności \(L\)
W obwodzie z idealną cewką indukcyjną napięcie wyprzedza prąd o kąt fazowy \(\displaystyle{\varphi=\frac{\pi}{2} }\).
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane: - kształt przebiegu prądu \(i(t)=I_m\sin(\omega t)\).
Szukane: - funkcja \(u(t)\) określająca wartości chwilowe napięcia w układzie, - wykresy czasowe i wskazowe.
Przebieg czasowy
Z II prawa Kirchhoffa, dla rezystora i cewki indukcyjnej połączonych szeregowo, przebieg czasowy napięcia wynosi
\(\displaystyle{u(t)=u_R(t)+u_L(t) }\)
\(u_R(t)\) jest spadkiem napięcia na rezystorze, \(u_L(t)\) - napięcie na induktorze
Na skutek zmienności w czasie prądu \(i(t)=I_m\sin(\omega t)\) w cewce indukuje się siła elektromotoryczna. Napięcie na cewce jest proporcjonalne do prędkości zmiany prądu. Napięcie wymusza stały wzrost prądu i wynosi ono \(\displaystyle{u_L(t)=L\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d} t} }\). Wracając do II prawa Kirchhoffa, otrzymujemy:
W obwodzie z idealną cewką indukcyjną napięcie wyprzedza prąd o kąt fazowy \(\displaystyle{\varphi=\frac{\pi}{2} }\). Przebiegi czasowe rysujemy na podstawie powyższego wzoru (funkcja określająca zmiany napięcia w czasie).
Wykresy wskazowe
II prawo Kirchhoffa, dla rezystora i cewki indukcyjnej połączonych szeregowo, w zapisie zespolonym ma postać
Rysowanie wykresu wskazowego rozpoczniemy od prądu płynącego w układzie. Wektor ten leży na osi \(Re\), ponieważ faza początkowa w podanym przebiegu czasowym wynosi zero \(i(t)=I_m\sin(\omega t+0)\). Z poprzedniego wykresu czasowego wnioskujemy, że prąd i napięcie na rezystorze są w fazie. Oznacza to, że nie występuje przesunięcie fazowe pomiędzy przebiegiem \(i(t)\) a \(u_R(t)\). Wektor reprezentujący napięcie na rezystorze również leży na osi poziomej (kąt \(\varphi = 0\) ).
W obwodzie z idealną cewką indukcyjną napięcie wyprzedza prąd o kąt fazowy \(\displaystyle{\varphi=\frac{\pi}{2} }\), dlatego wektor reprezentujący napięcie na indukcyjności jest skierowany prostopadle w górę do wektora reprezentującego prąd.
Dodając graficznie dwa wektory \(U_R\) oraz \(U_L\) otrzymujemy wektor wypadkowy \(U\).
Napięcie czy prąd sinusoidalny możemy przedstawić za pomocą funkcji trygonometrycznych i przedstawić je na wykresach czasowych. Możemy również (co w praktyce bywa wygodniejsze) analizowane równania zapisać przy użyciu liczb zespolonych. W takich przypadkach liczbę zespoloną rozumiemy jako wektor o dwóch składowych - część rzeczywista i urojona tej liczby.
Analizowany przebieg czasowy możemy przedstawić za pomocą wektora wirującego.
Związek pomiędzy wektorem wirującym a przebiegiem sinusoidalnym
Związek pomiędzy wektorem wirującym a przebiegiem sinusoidalnym
Na rysunku możemy zauważyć, że rzuty pewnego wektora o module równym amplitudzie przebiegu sinusoidalnego, obracającego się z prędkością kątową \(\omega\), równą pulsacji tego przebiegu na oś rzędnych, odpowiadają wartością chwilowym przebiegu. Kąt \(\varphi \) nachylenia wektora do osi pionowej odpowiada fazie początkowej przebiegu czasowego.
Narysujmy wektor wirujący w płaszczyźnie liczb zespolonych, którego rzuty na osie to odpowiednio \(a\) i \(b\).
Znając wartości \(a\) i \(b\) możemy obliczyć długość tego wektora \(\left | Z \right |=\sqrt{a^2+b^2}\). W ten sam sposób obliczamy moduł liczby zespolonej, która w zapisie algebraicznym ma postać \(Z=a+j\,b\). Odcinek skierowany od początku układu współrzędnych do punktu reprezentującego liczbę zespoloną nazywamy wskazem tej liczby.
Kąt nachylenia rozpatrywanego wektora obliczamy z definicji trygonometrycznych.
Sinus i cosinus kąta \(\varphi\) wynoszą:
\(\displaystyle{\sin \varphi =\frac{b}{\left | Z \right |}}\) oraz \(\displaystyle{\cos \varphi =\frac{a}{\left | Z \right |}}\)
Po przekształceniu otrzymujemy:
\(b=\left | Z \right |\cdot \sin \varphi \) oraz \(a=\left | Z \right |\cdot \cos \varphi \)
Liczbę zespoloną można więc przedstawić jako \(Z=a+jb=\left | Z \right | \left ( \cos \varphi +j\sin \varphi \right )\)
W zastosowaniach wygodna jest postać wykładnicza liczby zespolonej \(\displaystyle{\left | Z \right |e^{j\varphi }}\).
Niech przebieg czasowy będzie opisany funkcją \(u(t)=U_m\sin (\omega t+\varphi)\). W zapisie zespolonym taki przebieg można zapisać w następujący sposób:
Wyrażenie \(\displaystyle{\overset{U}{\_}=\frac{U_m}{\sqrt 2}\, e^{j\varphi}}\) nosi nazwę zespolonej wartości skutecznej przebiegu sinusoidalnego.
Jednoznaczne reprezentowanie symboliczne przebiegu sinusoidalnego wymaga podania zespolonej wartości skutecznej oraz częstotliwości (lub pulsacji) sygnału.
Przykład
Napięcie sinusoidalne wynosi \(\displaystyle{u(t)=10\sin\left (314 t+ \frac{\pi}{3} \right )\,\mathrm{V} }\). Zapisz wartość zespoloną skuteczną napięcia.
