Zadanie 7.4.2.2
Informacja
Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.
Dane i szukane
Dane:
- Przebiegi czasowe napięcia,
- napięcia zaznaczone na każdym z wykresów wynosi \(U=2\,\mathrm{V}\),
- współczynnik wypełnienia dla sygnału \(A\): \(w_a=0,5\),
- współczynnik wypełnienia dla sygnału \(B\): \(w_b=0,75\).
Szukane:
- wartość skuteczna dla trzech przebiegów napięć: \(Ua_{RMS}\), \(Ub_{RMS}\), \(Uc_{RMS}\).
Odpowiedź
Dla kolejnych przebiegów mamy:
- \(A\): \(U_{RMS}=1,4\,\mathrm{V}\)
- \(B\): \(U_{RMS}=1,7\,\mathrm{V}\)
- \(C\): \(U_{RMS}=1,2\,\mathrm{V}\)
Polecenie
Wyznacz wartość skuteczną dla przebiegu \(A\). Wybierz jedną prawidłową wartość spośród czterech.
\(U_{RMS}=2,8\,\mathrm{V}\)
\(U_{RMS}=1,7\,\mathrm{V}\)
Rozwiązanie
Wartość skuteczną napięcia wyznaczamy ze wzoru \(\displaystyle{U_{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{\tau}u^2(t)\, dt}}\) gdzie \(\tau\) jest czasem, w którym napięcie przyjmuje wartość \(U\).
Wyrażenie \(\displaystyle{\frac{\tau}{T}=w }\) jest równe współczynnikowi wypełnienia. Wartość średnią napięcia wynosi
Polecenie
Wyznacz wartość skuteczną dla przebiegu \(B\). Wybierz jedną prawidłową wartość spośród czterech.
Rozwiązanie
Wartość średnią napięcia, jak poprzednio, wyznaczamy ze wzoru \(\displaystyle{U_{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{\tau}u(t)\, dt}}\) gdzie \(\tau\) jest czasem, w którym napięcie przyjmuje wartość \(U\).
Polecenie
Wyznacz wartość skuteczną dla przebiegu \(C\). Wybierz jedną prawidłową wartość spośród czterech.
Rozwiązanie
Na podstawie wykresu możemy zbocze rosnące i malejące przedstawić za pomocą dwóch funkcji.
Równanie pierwszej prostej można wyznaczyć z punktów, np. \(\left ( 0,3T;\, 0 \right )\) oraz \(\left ( 0,6T;\, U \right )\). Funkcja liniowa przechodząca przez te dwa punkty ma postać
Druga prosta przechodzi przez punkty \(\left ( 0,8T;\, 0 \right )\) oraz \(\left ( T;\, -U \right )\) i ma postać
Wartość skuteczna wynosi:
\(\displaystyle{C_1=\frac{1}{T} \int_{0}^{0,6T}\left ( \frac{100}{9}\frac{U^2}{T^2}\cdot t^2-\frac{10}{3}\frac{U^2}{T}t+U^2 \right )dt }\)
\[\displaystyle{C_1=\frac{1}{T}\frac{100}{9}\frac{U^2}{T^2}\cdot \frac{1}{3}\left [ t^3 \right ]^{0,6T}_0-\frac{1}{T}\frac{20}{3}\frac{U^2}{T}\cdot\frac{1}{2}\left [ t^2 \right ]^{0,6T}_0+\frac{1}{T}U^2\left [ t \right ]^{0,6T}_0}\]\[\displaystyle{C_1=\frac{U^2}{T^3}\frac{100}{27}\cdot\frac{27}{125}T^3-0-\frac{U^2}{T^2}\frac{10}{3}\cdot\frac{9}{25}T^2+0+\frac{U^2}{T}\frac{3}{5}T-0}\]\[\displaystyle{C_1=0,8U^2-1,2U^2+0,6U^2=0,2U^2}\] \(C_1=0,2U^2\)
Druga całka
\(\displaystyle{C_2=\frac{1}{T}\int_{0,6T}^{T} \left ( 25\frac{U^2}{T^2}\cdot t^2-40\frac{U^2}{T}t +16U^2 \right )dt}\)
\[\displaystyle{C_2=\frac{25}{T}\frac{U^2}{T^2}\cdot\frac{1}{3}\left [t^3\right ]^T_{0,6T}-\frac{40}{T}\frac{U^2}{T}\cdot\frac{1}{2}\left [ t^2\right ]^T_{0,6T}+\frac{16}{T}U^2\left [ t\right ]^T_{0,6T}}\]\[\displaystyle{C_2=\frac{U^2}{T^3}\frac{25}{3}T^3-\frac{U^2}{T^3}\frac{25}{3}\cdot\frac{27}{125}T^3-\frac{U^2}{T^2}\cdot 20T^2+\frac{U^2}{T^2}\cdot 20\cdot\frac{9}{25}T^2+\frac{U^2}{T}\cdot 16T-\frac{U^2}{T}\cdot 16\cdot\frac{3}{5}T}\]\[\displaystyle{C_2=\frac{25}{3}U^2-1,8U^2-20U^2+7,2U^2+16U^2-9,6U^2}\] \(\displaystyle{C_2=\frac{25}{3}U^2-8,2U^2}\)
Wartość skuteczna wynosi
\(\displaystyle{U_{RMS}=\sqrt{0,2U^2+\frac{25}{3}U^2-8,2U^2}=\frac{U}{\sqrt{3}}}\)
\(\displaystyle{U_{RMS}=\frac{U}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=1,155\,\mathrm{V}}\)
Odpowiedź
Dla kolejnych przebiegów mamy:
- \(A\): \(U_{RMS}=1,4\,\mathrm{V}\)
- \(B\): \(U_{RMS}=1,7\,\mathrm{V}\)
- \(C\): \(U_{RMS}=1,2\,\mathrm{V}\)