Zadanie 6.8.1.3

Siatka dyfrakcyjna

Ile prążków interferencyjnych zobaczymy, gdy oświetlimy siatkę dyfrakcyjną o odległości między szczelinami

$2\,\mathrm{\mu m}$ laserem o długości fali

$650\,\mathrm{nm}$ ? Ile prążków będzie widzianych w przypadku, gdy zmienimy siatkę dyfrakcyjną o dwa razy większej ilości rys na minimetr?

Wskazówka teoretyczna

Teoria - siatka dyfrakcyjna

Siatka dyfrakcyjna składa się z układu równoległych i jednakowo rozmieszczonych wielu szczelin. Po przejściu przez siatkę dyfrakcyjną monochromatycznej fali płaskiej, na ekranie zobaczymy układ maksimów i minimów natężenia światła. Położenie m-tego jasnego prążka opisane jest zależnością:

$d\sin\theta_m=m\lambda$

gdzie

$d$ oznacza stałą siatki (odległość między najbliższymi szczelinami),

$m$ jest liczbą całkowitą i oznacza rząd widma,

$\theta_m$ kąt pod jakim powstaje m-ty prążek interferencyjny,

$\lambda$ długość fali światła padającego na siatkę dyfrakcyjną.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- długość fali $\lambda=650\,\mathrm{nm}$ ,
- stała pierwszej siatki dyfrakcyjnej $d_1=2\,\mathrm{\mu m}$ ,
- stała drugiej siatki dyfrakcyjnej $d_2=1\,\mathrm{\mu m}$ .

Szukane:
- ilość widzianych prążków.

Analiza sytuacji

Maksima interferencyjne, obserwowane przy pomocy siatki dyfrakcyjnej, można wyznaczyć z zależności

$d\sin\theta_m=m\lambda$

Występowanie maksymalnej ilości prążków, które mogą być obserwowane na ekranie za siatką, związane jest z tym, że kąt ugięcia światła na szczelinach może maksymalnie przyjąć wartość

$90^{\circ}$ . W rozwiązaniu należy obliczyć rząd widma dla kąta

$\theta_m=90^{\circ}$ .

Rozwiązanie

Rząd widma wyznaczamy z zależności

$\displaystyle{m=\frac{d\sin\theta_m}{\lambda} }$

Dla pierwszej siatki mamy

$\displaystyle{m_1=\frac{d_1\sin 90^{\circ}}{\lambda} }$

$\displaystyle{m_1=\frac{2\cdot 10^{-6}\cdot 1}{650\cdot 10^{-9}}\approx 3,07 }$

Rząd widma może przyjąć tylko wartości całkowite, co w naszym przypadku daje wynik

$m_1=3$ . Oznacza to, że widzimy prążek zerowy (w centralnej części widma) oraz kolejne maksima dla

$m=1$ ,

$m=2$ oraz

$m=3$ . Nie możemy również zapomnieć o maksimach z drugiej strony prążka zerowego, czyli kolejno rzędy

$m=-1$ ,

$m=-2$ oraz

$m=-3$ . W sumie mamy

$7$ prążków.

Druga siatka jest dwa razy gęstsza od pierwszej, czyli odległości między szczelinami są dwa razy mniejsze. Stała siatki wynosi więc

$d_2=d_1\cdot 0,5=1\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}$ . W tym przypadku mamy

$\displaystyle{m_2=\frac{1\cdot 10^{-6}\cdot 1}{650\cdot 10^{-9}}\approx 1,5 }$

Po zmianie siatki, obserwujemy prążki dla rzędów

$m=0$ ,

$m=1$ oraz

$m=-1$ , co nam daje trzy maksima. Zamiana siatki na gęstszą powoduje wzrost odległości między kolejnymi maksimami interferencyjnymi "rozrzedzenie widma", co z kolei zmniejsza ilość widzianych prążków. Tym razem mamy

$3$ prążki.

Odpowiedź

W przypadku pierwszej siatki dyfrakcyjnej zobaczymy $7$ maksimów interferencyjnych. Zmiana siatki na dwa razy gęstszą, spowoduje zmniejszenie ilości prążków do $3$ .

Zadanie 6.8.1.2

Zadanie 6.8.1.4

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta