Zadanie 1.2.1
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 1. Logika
  3. 1.2 Tautologie
  4. Zadanie 1.2.1

 Polecenie

Zbadaj, które z poniższych funkcji zdaniowych są  
Tautologią lub inaczej prawem logicznym nazywamy funkcję zdaniową, formułę, która zawsze jest prawdziwa. Inaczej, jeśli bez względu na wartości logiczne zmiennych zdaniowych ma wartość logiczną 1. 

Uwaga

Najłatwiej skorzystać z metody wypełniania tabelki wartościami logicznymi  poszczególnych zdań składowych. Należy stworzyć tabelkę, w której umieścimy w kolumnach kolejne zdania od najprostszych po całą formułę.
Uzupełniamy wartości logiczne poszczególnych zdań. W wierszach muszą się znaleźć wszystkie możliwości wartości logicznych zdań \(p,q,r\).

 Wskazówki

Wartości logiczne zdań

Wartości logiczne zdań

 Ćwiczenia

1. \(\left ( p\vee q \right )\Rightarrow \left ( p\Rightarrow q \right )\)

 Rozwiązanie - Animacja 1

Zdanie w ostatniej kolumnie jest tautologią, gdy ostatnia kolumna składa się z samych wartości \(1.\) To oznacza, że jest zawsze prawdziwa bez względu na wartości logiczne zdań składowych.
Opis działania animacji
Najedź na odpowiednią wartość logiczną a wyświetli się komentarz oraz podświetlą te wartości logiczne, których dotyczy dana formuła.

 Odpowiedź

Ponieważ prawdziwość danego zdania zależy od wartosci logicznej poszczególnych zdań prostych, zatem zdanie to nie jest tautologią. (Widać to w drugim wierszu, gdzie dostaliśmy na końcu wartość logiczną zdania 0).
2. \(\left ( p\Rightarrow q \right )\Rightarrow \left ( \sim p \vee \sim q \right )\)

 Rozwiązanie - Animacja 2

Opis działania animacji
Najedź na odpowiednią wartość logiczną a wyświetli się komentarz oraz podświetlą te wartości logiczne, których dotyczy dana formuła.

 Odpowiedź

Formuła nie jest tautologią.
3. \( \left [ p\wedge \left ( q\vee r \right ) \right ]\Leftrightarrow \left [ \left ( p\wedge q \right )\vee \left ( p\wedge r \right ) \right ]\)

 Rozwiązanie - Animacja 3

Opis działania animacji
Najedź na odpowiednią wartość logiczną a wyświetli się komentarz oraz podświetlą te wartości logiczne, których dotyczy dana formuła.

 Odpowiedź

Formuła jest tautologią.

 Polecenie

Czy podane zdania logiczne są tautologiami?
1. \(\left [ \left ( p\Rightarrow q \right )\wedge \left ( p\vee q \right ) \right ]\Leftrightarrow \left [ q\Rightarrow p \right ]\)

 Odpowiedź

Podana formuła nie jest tautologią.

 Rowiązanie - ćwiczenie interaktywne

Uwaga
Uzupełnij ostatnią kolumnę tabeli. Klikając przycisk "Sprawdź" sprawdzisz poprawność zadania. Jeśli Twoja odpowiedź nie będzie prawidłowa, skorzystaj z podpowiedzi w postaci uzupełnionej tabeli pomocniczej. Możesz poprawić swoją odpowiedź i sprawdzić poprawność klikając ponownie "Sprawdź."
2. \(\left [ \sim \left ( p\wedge q \right ) \right ]\Leftrightarrow \left [ \left ( \sim p \right ) \vee \left ( \sim q \right )\right) \)

 Odpowiedź

Podana formuła jest tautologią.

 Rozwiązanie - ćwiczenie interaktywne

Uwaga
Uzupełnij ostatnią kolumnę tabeli. Klikając przycisk "Sprawdź" sprawdzisz poprawność zadania. Jeśli Twoja odpowiedź nie będzie prawidłowa, skorzystaj z podpowiedzi w postaci uzupełnionej tabeli pomocniczej. Możesz poprawić swoją odpowiedź i sprawdzić poprawność klikając ponownie "Sprawdź."
Tabela_1_4_spr_5
3. \(\left [ \sim \left ( p\Rightarrow q \right ) \right ] \Rightarrow \left [ \left ( \sim p \right ) \Rightarrow \left ( \sim q \right )\right ]\)

 Odpowiedź

Podana formuła jest tautologią.

 Rozwiązanie - ćwiczenie interaktywne

Uwaga
Uzupełnij tabelę w zależności od wartości logicznych zdań składowych \(p\) i \(q.\) Kliknij przycisk "Sprawdź". Jeśli chcesz zobaczyć rozwiązanie kliknij przycisk "Rozwiązanie".
Tabela_1_4_spr_a
4. \(\left [ p\vee \left ( q\wedge r \right ) \right ]\Leftrightarrow \left [ \left ( p\vee q \right ) \wedge \left ( p\vee r \right )\right ]\)

 Odpowiedź

Podana formuła jest tautologią.

 Rozwiązanie - ćwiczenie interaktywne

Uwaga
Uzupełnij ostatnią kolumnę tabeli w zależności od wartości logicznych zdań składowych \(p\) i \(q.\) Aby sprawdzić poprawność odpowiedzi kliknij przycisk "Sprawdź". Możesz skorzystać z podpowiedzi w postaci tabeli pomocniczej. Po uzupełnieniu sprawdź poprawność odpowiedzi klikając ponownie "Sprawdź". Jeśli chcesz zobaczyć rozwiązanie kliknij przycisk "Rozwiązanie".
Tabela_1_4_spr_b
5. \(\sim q\wedge p\Leftrightarrow \sim p\vee q\)

 Odpowiedź

Formuła nie jest tautologią.

 Rozwiązanie

\(p\) \(q\) \(\sim p\) \(\sim q\) \(\sim q\wedge p\) \(\sim p\vee q\) \(\sim q\wedge p\Leftrightarrow \sim p\vee q\)
1 1 0 0 0 1 0
1 0 1 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 0 1 0
6. \(\left [ \left ( \sim p \right ) \Rightarrow p \right ]\Rightarrow p\)

 Odpowiedź

Podana formuła jest tautologią.

 Rozwiązanie

\(p\) \(\sim p\) \(\left ( \sim p \right )\Rightarrow p\) \(\left [ \left ( \sim p \right )\Rightarrow p \right ]\Rightarrow p\)
1 0 1 1
0 1 0 1
7. \(p\vee \left ( \sim p \right )\)

 Odpowiedź

Podana formuła jest tautologią.

 Rozwiązanie

\(p\) \(\sim p\) \(p\vee \sim p\)
1 0 1
0 1 1