Zadanie 10.1

Polecenie

Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami podanych funkcji.

Wskazówki

Twierdzenie (pole trapezu krzywoliniowego)

1. Niech funkcje

$f$ i

$g$ będą ciągłe na przedziale

$\left \langle a;b \right \rangle$ oraz niech

$g(x)\leqslant f(x),$ dla każdego

$x\in \left \langle a;b \right \rangle.$ Wtedy pole trapezu krzywoliniowego, ograniczonego wykresami funkcji

$f$ i

$g$ oraz prostymi

$x=a, \ x=b$ wyraża się wzorem:

${\displaystyle \left | P \right |=\int_{a}^{b} \left [ f(x)-g(x) \right ]\ dx}.$

2. Niech funkcje

$f$ i

$g$ będą ciągłe na przedziale

$\left \langle p;q \right \rangle$ oraz niech

$f(y)\leqslant g(y),$ dla każdego

$y\in \left \langle p;q \right \rangle.$ Wtedy pole trapezu krzywoliniowego, ograniczonego wykresami funkcji

$f$ i

$g$ oraz prostymi

$y=p, \ y=q$ wyraża się wzorem:

${\displaystyle \left | P \right |=\int_{p}^{q} \left [ g(y)-f(y) \right ]\ dy}.$

Obszar 1

$y=-x^{2}-3x+1, \ x+3y=0$

Rozwiązanie

Przedstawiamy sytuację z zadania w układzie współrzędnych.

Na początku musimy ustalić w jakich punktach

$A$ i

$B$ przecinają się wykresy tych funkcji. W zasadzie interesują nas tylko argumenty tych punktów, czyli rozwiązania równania:

${\displaystyle -x^{2}-3x+1=-\frac{1}{3}x}.$

$\begin{array}{l} {\displaystyle -x^{2}-3x+1=-\frac{1}{3}x}\\ {\displaystyle -x^{2}-3x+\frac{1}{3}x+1=0}\\ {\displaystyle -x^{2}-\frac{8}{3}x+1=0}\\ {\displaystyle 3x^{2}+8x-3=0}\\ \Delta =64+36=100\\ \sqrt{\Delta }=10\\ {\displaystyle x_{1}=\frac{-8-10}{6}=-3}\\ {\displaystyle x_{2}=\frac{-8+10}{6}=\frac{1}{3}} \end{array}$
Znamy już granice całkowania, zatem wystarczy skorzystać z twierdzenia o polu trapezu krzywoliniowego.

$|P|= \int_{-3}^{\frac{1}{3}}\left [ -x^{2}-3x+1- \left ( -\frac{1}{3}x \right ) \right ]\ dx = \int_{-3}^{\frac{1}{3}}\left [ -x^{2}-3x+1+\frac{1}{3}x \right ]\ dx = \int_{-3}^{\frac{1}{3}}\left [ -x^{2}-\frac{8}{3}x+1 \right ]\ dx = \Big [ -\frac{x^{3}}{3}-\frac{8}{3}\cdot \frac{x^{2}}{2}+x \Big ]_{-3}^{\frac{1}{3}}= \Big [ -\frac{x^{3}}{3}-\frac{4x^{2}}{3}+x \Big ]_{-3}^{\frac{1}{3}}= -\frac{1}{3}\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{3}-\frac{4}{3}\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{2}+\frac{1}{3} - \left [ \frac{(-3)^{3}}{3}-\frac{4}{3}(-3)^{2}-3 \right ]=-\frac{1}{81}-\frac{4}{27}+\frac{1}{3}-9+12+3=\frac{500}{81}.$

Odpowiedź

Pole obszaru ograniczonego krzywymi

$y=-x^{2}-3x+1, \ x+3y=0$ wynosi

${\displaystyle \frac{500}{81} [j^{2}]}.$

Obszar 2

$y=\frac{2}{x^{2}+1}, \ \ y=\frac{1}{10}x^{2}$

Rozwiązanie

Szkicujemy wykresy funkcji

$f$ i

$g$ oraz zaznaczamy obszar pomiędzy nimi.
Wykres funkcji

$f$ dąży do zera, dla

$x \to \infty$ oraz

$x \to -\infty$ oraz przechodzi przez punkty

$(-1,1),\ (0,2), \ (1,1).$ Wykresem funkcji

$g$ jest parabola, przechodząca przez środek układu współrzędnych oraz np. punkt

$(4; 1,6)$ (w tym przypadku używamy średnika, aby oddzielić współrzędne punktu, gdyż jedna z nich jest ułamkiem dziesiętnym).

Granice całkowania

Aby wyznaczyć granice całkowania, musimy rozwiązać równanie:

$\frac{2}{x^{2}+1}=\frac{1}{10} x^{2} \ \ \ /\cdot 8(x^{2}+1)}\\ {\displaystyle 20=x^{2}(x^{2}+1)}\\ {\displaystyle 20=x^{2}(x^{2}+1)}\\ {\displaystyle x^{4}+x^{2}-20=0}\\ {\displaystyle x^{2}=t, \ \ t \gt 0}\\ {\displaystyle t^{2}+t-20=0}\\ {\displaystyle \Delta _{t}=1-4\cdot 1 \cdot (-20)=81}\\ {\displaystyle \sqrt{\Delta _{t}}=9}\\ {\displaystyle t_{1}=\frac{-1-9}{2}=-5 \lt 0}\\ {\displaystyle t_{2}=\frac{-1+9}{2}=4 \gt 0}\\ {\displaystyle x^{2}=t}\\ {\displaystyle x^{2}=4}\\ {\displaystyle x^{2}-4=0}\\\ {\displaystyle (x+2)(x-2)=0}\\ {\displaystyle x=-2 \ \vee \ x=2$

Pole obszaru

$\int_{-2}^{2}\left [ f(x)-g(x) \right ]\ dx=\int_{-2}^{2}\left [ \frac{2}{x^{2}+1}- \frac{1}{10}x^{2} \right ]\ dx=}\\ {\displaystyle = 2\int_{-2}^{2} \frac{dx}{x^{2}+1}- \frac{1}{10} \int_{-2}^{2}x^{2}\ dx= 2\Big [ \textrm{ arctg }x \Big ]_{-2}^{2} -\frac{1}{10} \Big [ \frac{x^{3}}{3} \Big ]_{-2}^{2}=}\\ {\displaystyle =2 \left (\textrm{ arctg }2-\textrm{ arctg }(-2) \right )-\frac{1}{30}\left ( 2^{3}-(-2)^{3} \right ) =}\\ {\displaystyle =2 \left (\textrm{ arctg }2+\textrm{ arctg }2 \right )-\frac{1}{30}\left ( 8+8 \right )=}\\ {\displaystyle =4\textrm{ arctg }2-\frac{8}{15}$

Odpowiedź

Pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji

$y=\frac{2}{x^{2}+1}, \ \ y=\frac{1}{10}x^{2}$ wynosi

${\displaystyle \left ( 4\textrm{ arctg }2-\frac{8}{15} \right ) [j^{2}]}.$

Obszar 3

$y=ex^{2}, \ \ y=\sqrt{\frac{x}{e}}$

Rozwiązanie

Krok 1

W pierwszym kroku szkicujemy wykresy krzywych

${\displaystyle y=ex^{2}, \ \ y=\sqrt{\frac{x}{e}}},$ oznaczając je odpowiednio

$f$ i

$g.$ Wybierz właściwe przedstawienie graficzne obszaru ograniczonego wykresami funkcji

${\displaystyle y=ex^{2}, \ \ y=\sqrt{\frac{x}{e}}}.$

Odpowiedź nieprawidłowa

Odpowiedź prawidłowa

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 2

Wyznaczamy punkty przecięcia się wykresów funkcji

$f$ i

$g,$ licząc tym samym granice całkowania. Aby je obliczyć, wystarczy rozwiązać równanie:

$e^{4}x^{4}-x=0$

Odpowiedź nieprawidłowa

$e^{3}x^{3}-x=0$

Odpowiedź nieprawidłowa

$e^{3}x^{4}-x=0$

Odpowiedź prawidłowa

$\begin{array}{l} {\displaystyle ex^{2}=\sqrt{\frac{x}{e}}\ \ \ \ / \left ( \right )^{2}}\\ {\displaystyle e^{2}x^{4}=\frac{x}{e}\ \ \ \ / \cdot e}\\ {\displaystyle e^{3}x^{4}-x=0}\\ {\displaystyle x\left (e^{3}x^{3}-1 \right )=0}\\ {\displaystyle x=0 \ \ \vee \ \ e^{3}x^{3}-1=0}\\ {\displaystyle x=0 \ \ \vee \ \ \left (ex-1 \right )\left ( e^{2}x^{2}+ex+1 \right )=0}\\ {\displaystyle x=0 \ \ \vee \ \ x=\frac{1}{e} \ \ \ \ ( e^{2}x^{2}+ex+1 \gt 0, \ \ \Delta \lt 0)} \end{array}$

Krok 3

Po rozwiązaniu odpowiedniego równania wyznaczymy granice całkowania oraz korzystając z twierdzenia o polu trapezu krzywoliniowego zapiszemy pole obszaru za pomocą całki. Wybierz poprawną odpowiedź.

$|P|=\int_{0}^{\frac{1}{e}} \left ( \sqrt{\frac{x}{e}}-ex^{2} \right )\ dx$

Odpowiedź prawidłowa

$|P|=\int_{0}^{\frac{1}{e}} \left (ex^{2} - \sqrt{\frac{x}{e}}\right )\ dx$

Odpowiedź nieprawidłowa

$|P|=\int_{\frac{1}{e}}^{0} \left ( \sqrt{\frac{x}{e}}-ex^{2} \right )\ dx$

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 4

W kolejnym kroku wyznaczamy całkę nieoznaczoną (korzystamy z twierdzenia Newtona - Leibniza). Wybierz właściwą odpowiedź.

$\Big [\frac{2}{3e}x^{2}-\frac{ex^{3}}{3} \Big ]_{0}^{\frac{1}{e}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

$\Big [\frac{2}{3\sqrt{e}}x^{\frac{3}{2}}-\frac{ex^{3}}{3} \Big ]_{0}^{\frac{1}{e}}$

Odpowiedź prawidłowa

$\Big [\frac{2}{3\sqrt{e}}x^{2}-\frac{ex^{2}}{3} \Big ]_{0}^{\frac{1}{e}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

$|P|=\int_{0}^{\frac{1}{e}} \left ( \sqrt{\frac{x}{e}}-ex^{2} \right )\ dx=\sqrt{\frac{1}{e}}\int_{0}^{\frac{1}{e}}\sqrt{x}\ dx -e\int_{0}^{\frac{1}{e}}x^{2}\ dx=\Big [\sqrt{\frac{1}{e}}\cdot \frac{2}{3}x^{\frac{1}{2}+1} -\frac{ex^{3}}{3} \Big ]_{0}^{\frac{1}{e}}= \Big [\frac{2}{3\sqrt{e}}x^{\frac{3}{2}}-\frac{ex^{3}}{3} \Big ]_{0}^{\frac{1}{e}}$

Krok 5

Podstawiamy granice całkowania i obliczamy pole powierzchni zacieniowanego obszaru. Wybierz poprawne rozwiązanie.

$\frac{1}{3e^{2}}$

Odpowiedź prawidłowa

$\frac{1}{3e}$

Odpowiedź nieprawidłowa

$\frac{2}{3e^{4}}-\frac{1}{3e^{2}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

$\Big [\frac{2}{3\sqrt{e}}x^{\frac{3}{2}}-\frac{ex^{3}}{3} \Big ]_{0}^{\frac{1}{e}}= \frac{2}{3\sqrt{e}}\left (\frac{1}{e} \right )^{\frac{3}{2}}-\frac{e}{3}\cdot \left (\frac{1}{e} \right ) ^{3}=\frac{2}{3}\left (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}e^{\frac{3}{2}}} \right )-\frac{e}{3}\cdot \frac{1}{e^{3}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{e^{2}}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{e^{2}}=\frac{1}{3e^{2}}$

Odpowiedź

Pole obszaru ograniczonego krzywymi

$y=ex^{2}, \ \ y=\sqrt{\frac{x}{e}}$ wynosi

${\displaystyle \frac{1}{3e^{2}} [j^{2}] }.$

10. Zastosowanie całek

Polecenie

Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami podanych funkcji.

Obszar 1

$y=\sin x, \ \ y=\cos^{2}x-1, \ \ x\in \left \langle 0,\pi \right \rangle$

Odpowiedź

$|P|=\left (2+\frac{\pi}{2}\right ) [j^{2}]$

Rozwiązanie

Obliczamy granice całkowania, czyli argumenty, dla których wartości funkcji

$y=\sin x, \ \ y=\cos^{2}x-1$ są takie same. Zatem rozwiązujemy równanie w przedziale

$\left \langle 0,\pi \right \rangle:$

$\sin x=\cos^{2}x-1\\ \sin x=1-\sin^{2}x-1\\ \sin x=-\sin^{2}x\\ \sin^{2}x+\sin x=0\\ \sin x(\sin x+1)=0\\ \sin x=0 \ \ \vee \ \ \sin x=-1 - \textrm{ brak rozwiązań w przedziale }\left \langle 0,\pi \right \rangle\\ x=0 \ \ \vee \ \ x=\pi$
Wyznaczamy pole obszaru:

$|P|=\int_{0}^{\pi}\left [ \sin x - \left ( \cos^{2}x-1 \right ) \right ]\ dx= \int_{0}^{\pi}\left ( \sin x -\cos^{2}x+1\right )\ dx=\int_{0}^{\pi}\left ( \sin x -\frac{\cos 2x+1}{2}+1\right )\ dx= \Big[ -\cos x-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}x \Big ]_{0}^{\pi}=-\cos \pi - \frac{1}{4}\sin 2\pi +\frac{\pi}{2}-\left ( -\cos 0-\frac{1}{4}\sin 0+0 \right )=-(-1)-0+\frac{\pi}{2}-(-1)=2+\frac{\pi}{2}.$

Obszar 2

$y^{2}=4x, \ \ x=3$

Odpowiedź

$|P|=8\sqrt{3} [j^{2}]$

Rozwiązanie

Całkowanie po $x$

Liczymy pole obszaru ograniczonego krzywą

$y=\sqrt{4x}$ oraz prostą

$x=3$ i osią

$Oy$ i mnożymy przez 2 (dwa równe pola).

${\displaystyle |P|=2\int_{0}^{3}\sqrt{4x}\ dx=4 \int_{0}^{3}\sqrt{x}\ dx =4\Big [ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \Big ]_{0}^{3}=4\cdot \frac{2}{3}\cdot \sqrt{3\cdot 3\cdot 3}=8\sqrt{3}}.$

Całkowanie po $y$

Wyznaczamy granice całkowania:

${\displaystyle \frac{y^{2}}{4}=x, \ \ x=3}\\ {\displaystyle \frac{y^{2}}{4}=3}\\ {\displaystyle y^{2}-12=0}\\ {\displaystyle \left (y-2\sqrt{3} \right )\left (y+2\sqrt{3} \right )=0}\\ {\displaystyle y=2\sqrt{3} \ \ \vee \ \ y=-2\sqrt{3}}.$
Wyznaczamy pole obszaru:

$|P|=\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}\left ( 3-\frac{y^{2}}{4} \right )\ dy= \Big [ 3y-\frac{1}{4}\cdot \frac{y^{3}}{3} \Big ]_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}=}\\ {\displaystyle =3\cdot 2\sqrt{3}-\frac{1}{12}\left (2\sqrt{3} \right )^{3}-\left ( 3\cdot (-2\sqrt{3})-\frac{1}{12}(-2\sqrt{3})^{3} \right ) =}\\ {\displaystyle =6\sqrt{3}-2\sqrt{3}+6\sqrt{3}-2\sqrt{3}=8\sqrt{3}.$

Obszar 3

$y=\frac{1}{10}x^{2}, \ \ y=\frac{1}{2}x^{2}, \ \ y=x$

Odpowiedź

$|P|=16 \ [j^{2}]$

Rozwiązanie

Widać, że aby wyznaczyć pole zacieniowanego obszaru, należy wcześniej obliczyć punkty przecięcia się odpowiednich wykresów.
Wyznaczamy argumenty punktów przecięcia się wykresów funkcji:

${\displaystyle y=\frac{1}{2}x^{2}, \ \ y=x}.$

$\begin{cases} {\displaystyle y=\frac{1}{2}x^{2}}\\ {\displaystyle y=x} \end{cases} \Rightarrow \ \ \frac{1}{2}x^{2}=x \ \ \Rightarrow \ \ x(\frac{1}{2}x-1)=0 \ \ \Rightarrow x=0 \ \ \vee \ \ x=2$
Teraz wyznaczamy argumenty punktów przecięcia się wykresów funkcji:

${\displaystyle y=\frac{1}{10}x^{2}, \ \ y=x}.$

$\begin{cases} {\displaystyle y=\frac{1}{10}x^{2}}\\ y=x \end{cases}\ \ \Rightarrow \ \ \frac{1}{10}x^{2}=x \ \ \Rightarrow \ \ x(\frac{1}{10}x-1)=0 \ \ \Rightarrow x=0 \ \ \vee \ \ x=10.$
Widać, że pole obszaru to suma dwóch pól (dwóch całek).

$|P|=\int_{0}^{2} \left ( \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{10}x^{2} \right )\ dx +\int_{2}^{10} \left ( x-\frac{1}{10}x^{2} \right )\ dx=\frac{4}{10}\int_{0}^{2}x^{2}\ dx+\int_{2}^{10} \left ( x-\frac{1}{10}x^{2} \right )\ dx=\frac{2}{5}\Big [ \frac{x^{3}}{3}\Big ]_{0}^{2}+\Big [ \frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{10}\cdot \frac{x^{3}}{3} \Big ]_{2}^{10} =\frac{2}{5}\cdot \frac{8}{3}+\left ( \frac{10^{2}}{2}-\frac{1}{10}\cdot \frac{10^{3}}{3}-\frac{2^{2}}{2}+\frac{1}{10}\cdot \frac{2^{3}}{3} \right )=\frac{16}{15}+\frac{4}{15}+50-\frac{100}{3}-2=\frac{48}{3}=16$