Zadanie 10.1

Polecenie

Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami podanych funkcji.

Wskazówki

Twierdzenie (pole trapezu krzywoliniowego)

1. Niech funkcje \(f\) i \(g\) będą ciągłe na przedziale \(\left \langle a;b \right \rangle\) oraz niech \(g(x)\leqslant f(x),\) dla każdego \(x\in \left \langle a;b \right \rangle.\) Wtedy pole trapezu krzywoliniowego, ograniczonego wykresami funkcji \(f\) i \(g\) oraz prostymi \(x=a, \ x=b\) wyraża się wzorem:
\[{\displaystyle \left | P \right |=\int_{a}^{b} \left [ f(x)-g(x) \right ]\ dx}.\]

2. Niech funkcje \(f\) i \(g\) będą ciągłe na przedziale \(\left \langle p;q \right \rangle\) oraz niech \(f(y)\leqslant g(y),\) dla każdego \(y\in \left \langle p;q \right \rangle.\) Wtedy pole trapezu krzywoliniowego, ograniczonego wykresami funkcji \(f\) i \(g\) oraz prostymi \(y=p, \ y=q\) wyraża się wzorem:
\[{\displaystyle \left | P \right |=\int_{p}^{q} \left [ g(y)-f(y) \right ]\ dy}.\]

Obszar 1

\(y=-x^{2}-3x+1, \ x+3y=0\)

Rozwiązanie

Przedstawiamy sytuację z zadania w układzie współrzędnych.

Na początku musimy ustalić w jakich punktach \(A\) i \(B\) przecinają się wykresy tych funkcji. W zasadzie interesują nas tylko argumenty tych punktów, czyli rozwiązania równania: \({\displaystyle -x^{2}-3x+1=-\frac{1}{3}x}.\)
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle -x^{2}-3x+1=-\frac{1}{3}x}\\
{\displaystyle -x^{2}-3x+\frac{1}{3}x+1=0}\\
{\displaystyle -x^{2}-\frac{8}{3}x+1=0}\\
{\displaystyle 3x^{2}+8x-3=0}\\
\Delta =64+36=100\\
\sqrt{\Delta }=10\\
{\displaystyle x_{1}=\frac{-8-10}{6}=-3}\\
{\displaystyle x_{2}=\frac{-8+10}{6}=\frac{1}{3}}
\end{array}\]
Znamy już granice całkowania, zatem wystarczy skorzystać z twierdzenia o polu trapezu krzywoliniowego.
\({\displaystyle |P|= \int_{-3}^{\frac{1}{3}}\left [ -x^{2}-3x+1- \left ( -\frac{1}{3}x \right ) \right ]\ dx = \int_{-3}^{\frac{1}{3}}\left [ -x^{2}-3x+1+\frac{1}{3}x \right ]\ dx = \int_{-3}^{\frac{1}{3}}\left [ -x^{2}-\frac{8}{3}x+1 \right ]\ dx = \Big [ -\frac{x^{3}}{3}-\frac{8}{3}\cdot \frac{x^{2}}{2}+x \Big ]_{-3}^{\frac{1}{3}}= \Big [ -\frac{x^{3}}{3}-\frac{4x^{2}}{3}+x \Big ]_{-3}^{\frac{1}{3}}= -\frac{1}{3}\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{3}-\frac{4}{3}\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{2}+\frac{1}{3} - \left [ \frac{(-3)^{3}}{3}-\frac{4}{3}(-3)^{2}-3 \right ]=-\frac{1}{81}-\frac{4}{27}+\frac{1}{3}-9+12+3=\frac{500}{81}.}\)

Odpowiedź

Pole obszaru ograniczonego krzywymi \(y=-x^{2}-3x+1, \ x+3y=0\) wynosi \({\displaystyle \frac{500}{81} [j^{2}]}.\)

Obszar 2

\({\displaystyle y=\frac{2}{x^{2}+1}, \ \ y=\frac{1}{10}x^{2}}\)

Rozwiązanie

Szkicujemy wykresy funkcji \(f\) i \(g\) oraz zaznaczamy obszar pomiędzy nimi.
Wykres funkcji \(f\) dąży do zera, dla \(x \to \infty\) oraz \(x \to -\infty\) oraz przechodzi przez punkty \((-1,1),\ (0,2), \ (1,1).\) Wykresem funkcji \(g\) jest parabola, przechodząca przez środek układu współrzędnych oraz np. punkt \((4; 1,6)\) (w tym przypadku używamy średnika, aby oddzielić współrzędne punktu, gdyż jedna z nich jest ułamkiem dziesiętnym).

Granice całkowania

Aby wyznaczyć granice całkowania, musimy rozwiązać równanie:
\({\displaystyle \frac{2}{x^{2}+1}=\frac{1}{10} x^{2} \ \ \ /\cdot 8(x^{2}+1)}\\
{\displaystyle 20=x^{2}(x^{2}+1)}\\
{\displaystyle 20=x^{2}(x^{2}+1)}\\
{\displaystyle x^{4}+x^{2}-20=0}\\
{\displaystyle x^{2}=t, \ \ t \gt 0}\\
{\displaystyle t^{2}+t-20=0}\\
{\displaystyle \Delta _{t}=1-4\cdot 1 \cdot (-20)=81}\\
{\displaystyle \sqrt{\Delta _{t}}=9}\\
{\displaystyle t_{1}=\frac{-1-9}{2}=-5 \lt 0}\\
{\displaystyle t_{2}=\frac{-1+9}{2}=4 \gt 0}\\
{\displaystyle x^{2}=t}\\
{\displaystyle x^{2}=4}\\
{\displaystyle x^{2}-4=0}\\\
{\displaystyle (x+2)(x-2)=0}\\
{\displaystyle x=-2 \ \vee \ x=2}\)

Pole obszaru

\({\displaystyle \int_{-2}^{2}\left [ f(x)-g(x) \right ]\ dx=\int_{-2}^{2}\left [ \frac{2}{x^{2}+1}- \frac{1}{10}x^{2} \right ]\ dx=}\\
{\displaystyle = 2\int_{-2}^{2} \frac{dx}{x^{2}+1}- \frac{1}{10} \int_{-2}^{2}x^{2}\ dx= 2\Big [ \textrm{ arctg }x \Big ]_{-2}^{2} -\frac{1}{10} \Big [ \frac{x^{3}}{3} \Big ]_{-2}^{2}=}\\
{\displaystyle =2 \left (\textrm{ arctg }2-\textrm{ arctg }(-2) \right )-\frac{1}{30}\left ( 2^{3}-(-2)^{3} \right ) =}\\
{\displaystyle =2 \left (\textrm{ arctg }2+\textrm{ arctg }2 \right )-\frac{1}{30}\left ( 8+8 \right )=}\\
{\displaystyle =4\textrm{ arctg }2-\frac{8}{15} }\)

Odpowiedź

Pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji \({\displaystyle y=\frac{2}{x^{2}+1}, \ \ y=\frac{1}{10}x^{2}}\) wynosi \({\displaystyle \left ( 4\textrm{ arctg }2-\frac{8}{15} \right ) [j^{2}]}.\)

Obszar 3

\({\displaystyle y=ex^{2}, \ \ y=\sqrt{\frac{x}{e}}}\)

Rozwiązanie

Krok 1

W pierwszym kroku szkicujemy wykresy krzywych \({\displaystyle y=ex^{2}, \ \ y=\sqrt{\frac{x}{e}}},\) oznaczając je odpowiednio \(f\) i \(g.\) Wybierz właściwe przedstawienie graficzne obszaru ograniczonego wykresami funkcji \({\displaystyle y=ex^{2}, \ \ y=\sqrt{\frac{x}{e}}}.\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Odpowiedź prawidłowa

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 2

Wyznaczamy punkty przecięcia się wykresów funkcji \(f\) i \(g,\) licząc tym samym granice całkowania. Aby je obliczyć, wystarczy rozwiązać równanie:

\({\displaystyle e^{4}x^{4}-x=0}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\({\displaystyle e^{3}x^{3}-x=0}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\({\displaystyle e^{3}x^{4}-x=0}\)

Odpowiedź prawidłowa

\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle ex^{2}=\sqrt{\frac{x}{e}}\ \ \ \ / \left ( \right )^{2}}\\
{\displaystyle e^{2}x^{4}=\frac{x}{e}\ \ \ \ / \cdot e}\\
{\displaystyle e^{3}x^{4}-x=0}\\
{\displaystyle x\left (e^{3}x^{3}-1 \right )=0}\\
{\displaystyle x=0 \ \ \vee \ \ e^{3}x^{3}-1=0}\\
{\displaystyle x=0 \ \ \vee \ \ \left (ex-1 \right )\left ( e^{2}x^{2}+ex+1 \right )=0}\\
{\displaystyle x=0 \ \ \vee \ \ x=\frac{1}{e} \ \ \ \ ( e^{2}x^{2}+ex+1 \gt 0, \ \ \Delta \lt 0)}
\end{array}\]

Krok 3

Po rozwiązaniu odpowiedniego równania wyznaczymy granice całkowania oraz korzystając z twierdzenia o polu trapezu krzywoliniowego zapiszemy pole obszaru za pomocą całki. Wybierz poprawną odpowiedź.

\({\displaystyle |P|=\int_{0}^{\frac{1}{e}} \left ( \sqrt{\frac{x}{e}}-ex^{2} \right )\ dx}\)

Odpowiedź prawidłowa

\({\displaystyle |P|=\int_{0}^{\frac{1}{e}} \left (ex^{2} - \sqrt{\frac{x}{e}}\right )\ dx}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\({\displaystyle |P|=\int_{\frac{1}{e}}^{0} \left ( \sqrt{\frac{x}{e}}-ex^{2} \right )\ dx}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 4

W kolejnym kroku wyznaczamy całkę nieoznaczoną (korzystamy z twierdzenia Newtona - Leibniza). Wybierz właściwą odpowiedź.

\({\displaystyle \Big [\frac{2}{3e}x^{2}-\frac{ex^{3}}{3} \Big ]_{0}^{\frac{1}{e}} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\({\displaystyle \Big [\frac{2}{3\sqrt{e}}x^{\frac{3}{2}}-\frac{ex^{3}}{3} \Big ]_{0}^{\frac{1}{e}} }\)

Odpowiedź prawidłowa

\({\displaystyle \Big [\frac{2}{3\sqrt{e}}x^{2}-\frac{ex^{2}}{3} \Big ]_{0}^{\frac{1}{e}} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\({\displaystyle |P|=\int_{0}^{\frac{1}{e}} \left ( \sqrt{\frac{x}{e}}-ex^{2} \right )\ dx=\sqrt{\frac{1}{e}}\int_{0}^{\frac{1}{e}}\sqrt{x}\ dx -e\int_{0}^{\frac{1}{e}}x^{2}\ dx=\Big [\sqrt{\frac{1}{e}}\cdot \frac{2}{3}x^{\frac{1}{2}+1} -\frac{ex^{3}}{3} \Big ]_{0}^{\frac{1}{e}}= \Big [\frac{2}{3\sqrt{e}}x^{\frac{3}{2}}-\frac{ex^{3}}{3} \Big ]_{0}^{\frac{1}{e}}}\)

Krok 5

Podstawiamy granice całkowania i obliczamy pole powierzchni zacieniowanego obszaru. Wybierz poprawne rozwiązanie.

\[{\displaystyle \frac{1}{3e^{2}}}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[{\displaystyle \frac{1}{3e}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[{\displaystyle \frac{2}{3e^{4}}-\frac{1}{3e^{2}} }\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\({\displaystyle \Big [\frac{2}{3\sqrt{e}}x^{\frac{3}{2}}-\frac{ex^{3}}{3} \Big ]_{0}^{\frac{1}{e}}= \frac{2}{3\sqrt{e}}\left (\frac{1}{e} \right )^{\frac{3}{2}}-\frac{e}{3}\cdot \left (\frac{1}{e} \right ) ^{3}=\frac{2}{3}\left (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}e^{\frac{3}{2}}} \right )-\frac{e}{3}\cdot \frac{1}{e^{3}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{e^{2}}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{e^{2}}=\frac{1}{3e^{2}}}\)

Odpowiedź

Pole obszaru ograniczonego krzywymi \({\displaystyle y=ex^{2}, \ \ y=\sqrt{\frac{x}{e}}}\) wynosi \({\displaystyle \frac{1}{3e^{2}} [j^{2}] }.\)

10. Zastosowanie całek

Polecenie

Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami podanych funkcji.

Obszar 1

\(y=\sin x, \ \ y=\cos^{2}x-1, \ \ x\in \left \langle 0,\pi \right \rangle\)

Odpowiedź

\({\displaystyle |P|=\left (2+\frac{\pi}{2}\right ) [j^{2}]}\)

Rozwiązanie

Obliczamy granice całkowania, czyli argumenty, dla których wartości funkcji \(y=\sin x, \ \ y=\cos^{2}x-1 \) są takie same. Zatem rozwiązujemy równanie w przedziale \(\left \langle 0,\pi \right \rangle:\)
\(\sin x=\cos^{2}x-1\\
\sin x=1-\sin^{2}x-1\\
\sin x=-\sin^{2}x\\
\sin^{2}x+\sin x=0\\
\sin x(\sin x+1)=0\\
\sin x=0 \ \ \vee \ \ \sin x=-1 - \textrm{ brak rozwiązań w przedziale }\left \langle 0,\pi \right \rangle\\
x=0 \ \ \vee \ \ x=\pi \)
Wyznaczamy pole obszaru:
\({\displaystyle |P|=\int_{0}^{\pi}\left [ \sin x - \left ( \cos^{2}x-1 \right ) \right ]\ dx= \int_{0}^{\pi}\left ( \sin x -\cos^{2}x+1\right )\ dx=\int_{0}^{\pi}\left ( \sin x -\frac{\cos 2x+1}{2}+1\right )\ dx= \Big[ -\cos x-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}x \Big ]_{0}^{\pi}=-\cos \pi - \frac{1}{4}\sin 2\pi +\frac{\pi}{2}-\left ( -\cos 0-\frac{1}{4}\sin 0+0 \right )=-(-1)-0+\frac{\pi}{2}-(-1)=2+\frac{\pi}{2}.}\)

Obszar 2

\(y^{2}=4x, \ \ x=3\)

Odpowiedź

\({\displaystyle |P|=8\sqrt{3} [j^{2}]}\)

Rozwiązanie

Całkowanie po \(x\)

Liczymy pole obszaru ograniczonego krzywą \(y=\sqrt{4x}\) oraz prostą \(x=3\) i osią \(Oy\) i mnożymy przez 2 (dwa równe pola).
\({\displaystyle |P|=2\int_{0}^{3}\sqrt{4x}\ dx=4 \int_{0}^{3}\sqrt{x}\ dx =4\Big [ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \Big ]_{0}^{3}=4\cdot \frac{2}{3}\cdot \sqrt{3\cdot 3\cdot 3}=8\sqrt{3}}.\)

Całkowanie po \(y\)

Wyznaczamy granice całkowania:
\({\displaystyle \frac{y^{2}}{4}=x, \ \ x=3}\\
{\displaystyle \frac{y^{2}}{4}=3}\\
{\displaystyle y^{2}-12=0}\\
{\displaystyle \left (y-2\sqrt{3} \right )\left (y+2\sqrt{3} \right )=0}\\
{\displaystyle y=2\sqrt{3} \ \ \vee \ \ y=-2\sqrt{3}}.\)
Wyznaczamy pole obszaru:
\({\displaystyle |P|=\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}\left ( 3-\frac{y^{2}}{4} \right )\ dy= \Big [ 3y-\frac{1}{4}\cdot \frac{y^{3}}{3} \Big ]_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}=}\\
{\displaystyle =3\cdot 2\sqrt{3}-\frac{1}{12}\left (2\sqrt{3} \right )^{3}-\left ( 3\cdot (-2\sqrt{3})-\frac{1}{12}(-2\sqrt{3})^{3} \right ) =}\\
{\displaystyle =6\sqrt{3}-2\sqrt{3}+6\sqrt{3}-2\sqrt{3}=8\sqrt{3}.}\)

Obszar 3

\({\displaystyle y=\frac{1}{10}x^{2}, \ \ y=\frac{1}{2}x^{2}, \ \ y=x}\)

Odpowiedź

\({\displaystyle |P|=16 \ [j^{2}]}\)

Rozwiązanie

Widać, że aby wyznaczyć pole zacieniowanego obszaru, należy wcześniej obliczyć punkty przecięcia się odpowiednich wykresów.
Wyznaczamy argumenty punktów przecięcia się wykresów funkcji: \({\displaystyle y=\frac{1}{2}x^{2}, \ \ y=x}.\)
\[\begin{cases}
{\displaystyle y=\frac{1}{2}x^{2}}\\
{\displaystyle y=x}
\end{cases}
\Rightarrow \ \ \frac{1}{2}x^{2}=x \ \ \Rightarrow \ \ x(\frac{1}{2}x-1)=0 \ \
\Rightarrow x=0 \ \ \vee \ \ x=2\]
Teraz wyznaczamy argumenty punktów przecięcia się wykresów funkcji: \({\displaystyle y=\frac{1}{10}x^{2}, \ \ y=x}.\)
\[\begin{cases}
{\displaystyle y=\frac{1}{10}x^{2}}\\
y=x
\end{cases}\ \
\Rightarrow \ \ \frac{1}{10}x^{2}=x \ \ \Rightarrow \ \ x(\frac{1}{10}x-1)=0 \ \
\Rightarrow x=0 \ \ \vee \ \ x=10.\]
Widać, że pole obszaru to suma dwóch pól (dwóch całek).
\({\displaystyle |P|=\int_{0}^{2} \left ( \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{10}x^{2} \right )\ dx +\int_{2}^{10} \left ( x-\frac{1}{10}x^{2} \right )\ dx=\frac{4}{10}\int_{0}^{2}x^{2}\ dx+\int_{2}^{10} \left ( x-\frac{1}{10}x^{2} \right )\ dx=\frac{2}{5}\Big [ \frac{x^{3}}{3}\Big ]_{0}^{2}+\Big [ \frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{10}\cdot \frac{x^{3}}{3} \Big ]_{2}^{10} =\frac{2}{5}\cdot \frac{8}{3}+\left ( \frac{10^{2}}{2}-\frac{1}{10}\cdot \frac{10^{3}}{3}-\frac{2^{2}}{2}+\frac{1}{10}\cdot \frac{2^{3}}{3} \right )=\frac{16}{15}+\frac{4}{15}+50-\frac{100}{3}-2=\frac{48}{3}=16}\)