Zadanie 8.3

Polecenie

Oblicz całki nieoznaczone stosując twierdzenie o całkowaniu przez części.

Wskazówki

Twierdzenie o całkowaniu przez części

Niech funkcje

$f$ i

$g$ mają ciągłe pochodne. Wówczas

$\int f(x)g'(x)\ dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\ dx.$

Uwaga

Z twierdzenia o całkowaniu przez części najczęściej korzystamy, gdy funkcje podcałkowe mają postać iloczynu, np:

$x^{k}\ln^{n}x, \ \ k, n \in \mathbb{N}$ - $n$ - razy przez części,
$W(x)\ln^{n}x, \ \ n \in \mathbb{N}, W$ - wielomian,
$\left.\begin{matrix} x^{k}\sin px\\ x^{k}\cos px \end{matrix}\right\}$ - $k$ - razy przez części,
$x^{k}e^{px}, \ \ k, p \in \mathbb{N},$
$x^{k}\textrm{arctg }px, \ \ k, p \in \mathbb{N}.$

Całki typu $x^{k}\ln^{n}x$

$1. \ \ {\displaystyle \int \ln x\ dx}$

$2. \ \ {\displaystyle \int x\ln x\ dx}$

$3. \ \ {\displaystyle \int x^{3}\ln^{2} x\ dx}$

Rozwiązanie

Korzystamy z twierdzenia o całkowaniu przez części, czyli ze wzoru $\color{#F57C00}{{\displaystyle \int f(x)g'(x)\ dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\ dx}}.$
Całkowanie przez części polega na rozkładzie iloczynu funkcji podcałkowych na dwie tak, aby policzyć pochodną pierwszej z nich (i tym samym zredukować funkcję) oraz obliczeniu całki drugiej z nich (tu często rozbudujemy wyrażenie, jednak w wielu przypadkach mimo to doprowadzimy do rozwiązania).

Zaczynamy od pierwszej całki dobierając funkcje $f$ i $g$ tak, aby pozbyć się spod znaku całki logarytmu.
W pierwszej i drugiej całce logarytm naturalny występuje w pierwszej potędze ( $k=0$ oraz $n=1$ w wyrażeniu $x^{k}\ln^{n}x,$ ), zatem całkujemy jeden raz przez części. Nie mamy tutaj iloczynu, zatem sztucznie definiujemy funkcję $g'$ jako funkcję stałą równą $1.$

$1. \ \ \int \ln x\ dx = \begin{vmatrix} f(x)=\ln x & g'(x)=1\\ f'(x)=\frac{1}{x} & g(x)=x \end{vmatrix}=x\ln x -\int x\cdot \frac{1}{x}\ dx =x\ln x-x+C$

$2. \ \ \int x \ln x\ dx = \begin{vmatrix} f(x)=\ln x & g'(x)=x\\ f'(x)=\frac{1}{x} & g(x)=\frac{x^{2}}{2} \end{vmatrix}=\frac{x^{2}}{2} \ln x -\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x}\ dx =\frac{x^{2}}{2} \ln x-\frac{x^{2}}{4} +C$

W trzeciej całce $k=3$ oraz $n=2$ w wyrażeniu $x^{k}\ln^{n}x,$ zatem będziemy całkować przez części dwukrotnie.
$3. \ \ \int x^{3}\ln^{2} x\ dx = \begin{vmatrix} f(x)=\ln^{2} x & g'(x)=x^{3}\\ f'(x)=2 \ln x \cdot \frac{1}{x} & g(x)=\frac{x^{4}}{4} \end{vmatrix}=\frac{x^{4}}{4} \ln^{2} x -\int \frac{x^{4}}{4} \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x}\ dx =}\\ {\displaystyle \frac{x^{4}}{4} \ln^{2}x-\frac{1}{2}\int x^{3}\ln x\ dx=\begin{vmatrix} f(x)=\ln x & g'(x)=x^{3}\\ f'(x)=\frac{1}{x} & g(x)=\frac{x^{4}}{4} \end{vmatrix}=}\\ {\displaystyle =\frac{x^{4}}{4} \ln^{2}x-\frac{1}{2}\left [ \frac{x^{4}}{4}\cdot \ln x-\int \frac{x^{4}}{4}\cdot \frac{1}{x} \right ]=\frac{x^{4}}{4} \ln^{2}x-\frac{x^{4}}{8}\ln x+\frac{1}{8}\int x^{3}=}\\ {\displaystyle =\frac{x^{4}}{4} \ln^{2}x-\frac{x^{4}}{8}\ln x+\frac{1}{8}\frac{x^{4}}{4}+C=\frac{x^{4}}{4} \ln^{2}x-\frac{x^{4}}{8}\ln x+\frac{x^{4}}{32}+C$

Odpowiedź

$\int \ln x\ dx =x\ln x-x+C}\\ {\displaystyle \int x \ln x\ dx =\frac{x^{2}}{2} \ln x-\frac{x^{2}}{4} x+C}\\ {\displaystyle \int x^{3}\ln^{2} x\ dx =\frac{x^{4}}{4} \ln^{2}x-\frac{x^{4}}{8}\ln x+\frac{x^{4}}{32}+C$

Całki typu $x^{k}\sin px, \ \ x^{k}\cos px$

$1. \ \ \int x^{2}\sin x\ dx$

$2. \ \ \int x \cos 2x\ dx$

Rozwiązanie

W pierwszej całce dwukrotnie korzystamy z

$\int f(x)g'(x)\ dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\ dx$ . W wyrażeniu

$x^{k}\sin px$ mamy

$k=2$ oraz

$p=1.$

$1. \ \ \int x^{2}\sin x\ dx=\begin{vmatrix} f(x)=x^{2} & g'(x)=\sin x\\ f'(x)=2x & g(x)=-\cos x \end{vmatrix}=-x^{2}\cos x+2\int x\cos x\ dx=}\\ {\displaystyle =\begin{vmatrix} f(x)=x & g'(x)=\cos x\\ f'(x)=1 & g(x)=\sin x \end{vmatrix} =-x^{2}\cos x+2\left [ x\sin x-\int \sin x\ dx \right ]=}\\ {\displaystyle =-x^{2}\cos x+2x\sin x-2(-\cos x)+C=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

W drugiej całce twierdzenie o całkowaniu przez części stosujemy raz. Podczas całkowania przez części szukamy takiej funkcji

$g(x),$ której pochodna

$g'(x)$ wynosi

$\cos 2x,$ czyli

$g(x)={\displaystyle \frac{1}{2}\sin 2x}$ . Wystarczy sprawdzić

${\displaystyle g'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2 \cos 2x=\cos 2x}.$
(W kolejnych zadaniach będziemy mogli zastosować metodę podstawiania w takich sytuacjach.)

$2. \ \ \int x \cos 2x\ dx=\begin{vmatrix} f(x)=x & g'(x)=\cos 2x\\ f'(x)=1 & g(x)=\frac{1}{2}\sin 2x \end{vmatrix}=\frac{1}{2}x\sin 2x-\frac{1}{2}\int \sin 2x\ dx=}\\ {\displaystyle =\frac{1}{2}x\sin 2x+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \cos 2x +C=\frac{1}{2}x\sin 2x+\frac{1}{4} \cos 2x +C=$

Odpowiedź

$1. \ \ \int x^{2}\sin x\ dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C}\\ {\displaystyle 2. \ \ \int x \cos 2x\ dx=\frac{1}{2}x\sin 2x+\frac{1}{4} \cos 2x +C$

Całki typu $x^{k}e^{px}$

$1. \ \ \int x e^{4x}\ dx}\\ {\displaystyle 2. \ \ \int x^{3}e^{x}\ dx$

Rozwiązanie

W obu całkach korzystamy z

$\int f(x)g'(x)\ dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\ dx$ . W drugiej całce trzykrotnie (

$k=3$ ).

$1. \ \ \int x e^{4x}\ dx=\begin{vmatrix} f(x)=x & g'(x)=e^{4x}\\ f'(x)=1 & g(x)=\frac{1}{4}e^{4x} \end{vmatrix}=\frac{1}{4}xe^{4x}-\frac{1}{4}\int e^{4x}\ dx=}\\ {\displaystyle =\frac{1}{4}xe^{4x}-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}e^{4x}+C=\frac{1}{4}xe^{4x}-\frac{1}{16}e^{4x}+C$

$2. \ \ \int x^{3}e^{x}\ dx=\begin{vmatrix} f(x)=x^{3} & g'(x)=e^{x}\\ f'(x)=3x^{2} & g(x)=e^{x} \end{vmatrix}=x^{3}e^{x}-3\int x^{2}e^{x}=}\\ {\displaystyle =\begin{vmatrix} f(x)=x^{2} & g'(x)=e^{x}\\ f'(x)=2x & g(x)=e^{x} \end{vmatrix}= x^{3}e^{x}-3\left [ x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}\ dx \right ]=}\\ {\displaystyle =\begin{vmatrix} f(x)=x & g'(x)=e^{x}\\ f'(x)=1 & g(x)=e^{x} \end{vmatrix}=x^{3}e^{x}-3 x^{2}e^{x}+6\left [ xe^{x}-\int e^{x}\ dx \right ]=}\\ {\displaystyle x^{3}e^{x}-3 x^{2}e^{x}+6xe^{x}-6e^{x}+C$

Odpowiedź

$1. \ \ \int x e^{4x}\ dx=\frac{1}{4}xe^{4x}-\frac{1}{16}e^{4x}+C$

$2. \ \ \int x^{3}e^{x}\ dx= x^{3}e^{x}-3 x^{2}e^{x}+6xe^{x}-6e^{x}+C$

Całki różnego typu

$1. \ \ \int e^{x}\sin 4x\ dx$

$2. \ \ \int \sin 2x\cos x\ dx$

Rozwiązanie

ALGORYTM

W tego typu całkach dwukrotnie korzystamy z twierdzenia o całkowaniu przez części, trzymając się kolejności przypisywania funkcji (

$f$ i

$g$ ). Po dwukrotnym scałkowaniu otrzymujemy po prawej stronie całkę wyjściową, różniącą się tylko współczynnikiem liczbowym. Wystarczy potraktować całki jako wyrażenia podobne, zredukować wyrazy podobne i na końcu wyznaczyć wartość całki dzieląc przez współczynnik powstały poprzez redukcję wyrazów podobnych.

$1. \ \ \int e^{x}\sin 4x\ dx=\begin{vmatrix} f(x)=\sin 4x & g'(x)=e^{x}\\ f'(x)=4\cos 4x & g(x)=e^{x} \end{vmatrix}=e^{x}\sin 4x-4\int e^{x}\cos 4x\ dx=}\\ {\displaystyle \begin{vmatrix} f(x)=\cos 4x & g(x)=e^{x}\\ f'(x)=-4\sin 4x & g'(x)=e^{x} \end{vmatrix}=e^{x}\sin 4x-4\left [ e^{x}\cos 4x+4\int e^{x}\sin 4x\ dx \right ]=}\\ {\displaystyle =e^{x}\sin 4x-4e^{x}\cos 4x-16\int e^{x}\sin 4x\ dx}\\ {\displaystyle \color{#F57C00}{\int e^{x}\sin 4x\ dx}=e^{x}\sin 4x-4e^{x}\cos 4x\color{#F57C00}{-16\int e^{x}\sin 4x\ dx}}\\ {\displaystyle \int e^{x}\sin 4x\ dx+16\int e^{x}\sin 4x\ dx=e^{x}\sin 4x-4e^{x}\cos 4x}\\ {\displaystyle 17\int e^{x}\sin 4x\ dx=e^{x}\sin 4x-4e^{x}\cos 4x \ \ /:17}\\ {\displaystyle \int e^{x}\sin 4x\ dx=\frac{e^{x}\sin 4x-4e^{x}\cos 4x}{17}+C}\\ {\displaystyle \int e^{x}\sin 4x\ dx=\frac{e^{x}\sin 4x}{17}-\frac{4e^{x}\cos 4x}{17}+C$

${\displaystyle 2. \ \ \int \sin 2x\cos x\ dx=}\\ {\displaystyle =\begin{vmatrix} f(x)=\sin 2x & g'(x)=\cos x\\ f'(x)=2\cos 2x & g(x)=\sin x \end{vmatrix}=\sin x \sin 2x -2\int \sin x \cos 2x\ dx=}\\ {\displaystyle =\begin{vmatrix} f(x)=\cos 2x & g'(x)=\sin x\\ f'(x)=-2\sin 2x & g(x)=-\cos x \end{vmatrix}=\sin x \sin 2x -2\left [ -\cos x\cos 2x -\int (-\cos x) \cdot (-2\sin 2x)\ dx\right ]=}\\ {\displaystyle =\sin x \sin 2x +2\cos x\cos 2x +4\int \cos x \sin 2x\ dx}\\ {\displaystyle \int \sin 2x\cos x\ dx=\sin x \sin 2x +2\cos x\cos 2x +4\int \cos x \sin 2x\ dx}\\ {\displaystyle \color{#F57C00}{\int \sin 2x\cos x\ dx}=\sin x \sin 2x +2\cos x\cos 2x +\color{#F57C00}{4\int \sin 2x \cos x\ dx}}\\ {\displaystyle \int \sin 2x\cos x\ dx-4\int \sin 2x\cos x\ dx=\sin x \sin 2x +2\cos x\cos 2x}\\ {\displaystyle -3\int \sin 2x\cos x\ dx=\sin x \sin 2x +2\cos x\cos 2x \ \ /:(-3)}\\ {\displaystyle \int \sin 2x\cos x\ dx=-\frac{1}{3}\sin x \sin 2x -\frac{2}{3}\cos x\cos 2x+C}\\$

Odpowiedź

$1. \ \ \int e^{x}\sin 4x\ dx=\frac{1}{17}e^{x}( \sin 4x - 4\cos 4x)+C$

$2. \ \ \int \sin 2x\cos x\ dx=-\frac{1}{3}\left (\sin x \sin 2x +2\cos x\cos 2x\right )+C$

$3. \ \ \int (x-1)e^{x} \cos x \ dx$

Rozwiązanie

W celu rozwiązania całki

$1$ stosujemy twierdzenie o całkowaniu przez części. W wyniku zastosowania tego twierdzenia (przy odpowiednim doborze funkcji

$f$ i

$g$ ) już na początku pojawia się do rozwiązania całka

$\color{#F57C00}{g(x)=e^{x}\cos x\ dx}.$ Tą i kolejną, jaka się pojawia, rozwiązujemy dla wygody osobno, stosując metodę podaną w przykładzie całek

$1$ i

$2$ różnego typu.

${\displaystyle \int (x-1)e^{x} \cos x \ dx=\begin{vmatrix} f(x)=x-1 & \color{#F57C00}{g'(x)=e^{x}\cos x}\\ f'(x)=1 & \color{#F57C00}{g(x)=\frac{1}{2}e^{x}\left ( \sin x+\cos x \right )} \end{vmatrix}=}\\ {\displaystyle =\frac{1}{2}(x-1)e^{x}\left ( \sin x +\cos x \right )-\frac{1}{2}\int e^{x}\left ( \sin x+\cos x \right )\ dx}=\\ {\displaystyle =\frac{1}{2}(x-1)e^{x}\left ( \sin x +\cos x \right )-\frac{1}{2}\color{#388E3C}{\int e^{x}\sin x\ dx} -\frac{1}{2}\color{#F57C00}{\int e^{x}\cos x\ dx} =}\\ {\displaystyle =\frac{1}{2}(x-1)e^{x}\left ( \sin x +\cos x \right )-\frac{1}{2}\color{#388E3C}{\left ( \frac{1}{2}e^{x}(\sin x- \cos x) \right )} -\frac{1}{2}\color{#F57C00}{ \left ( \frac{1}{2}e^{x}(\sin x+ \cos x) \right )}+C=}\\ {\displaystyle =\frac{1}{2}(x-1)e^{x}\left ( \sin x +\cos x \right )-\frac{1}{4}e^{x}\sin x+\frac{1}{4}e^{x} \cos x -\frac{1}{4}e^{x}\sin x-\frac{1}{4}e^{x} \cos x +C=}\\ {\displaystyle =\frac{1}{2}(x-1)e^{x}\left ( \sin x +\cos x \right )-\frac{1}{2}e^{x}\sin x+C}$
Zaznaczone całki są policzone metodą przedstawioną w poprzednim przykładzie (

$1.$ i

$2.$ ).
W takim przypadku warto je liczyć osobno i wstawić wynik.

$\color{#388E3C}{\int e^{x}\sin x\ dx}=\begin{vmatrix} f(x)=\sin x & g'(x)=e^{x}\\ f'(x)=\cos x & g(x)=e^{x} \end{vmatrix}=e^{x}\sin x -\int e^{x}\cos x\ dx=}\\ {\displaystyle =\begin{vmatrix} f(x)=\cos x & g'(x)=e^{x}\\ f'(x)=-\sin x & g(x)=e^{x} \end{vmatrix}=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-\int e^{x}\sin x\ dx}\\ {\displaystyle \int e^{x}\sin x\ dx=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-\int e^{x}\sin x\ dx}\\ {\displaystyle \int e^{x}\sin x\ dx+\int e^{x}\sin x\ dx=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x}\\ {\displaystyle 2\int e^{x}\sin x\ dx=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x}\\ {\displaystyle \int e^{x}\sin x\ dx=\color{#388E3C}{ \frac{1}{2}e^{x}\left (\sin x-\cos x \right )}$

$\color{#F57C00}{ \int e^{x}\cos x\ dx}=\begin{vmatrix} f(x)=\cos x & g'(x)=e^{x}\\ f'(x)=-\sin x & g(x)=e^{x} \end{vmatrix}=e^{x}\cos x +\int e^{x}\sin x\ dx=}\\ {\displaystyle =\begin{vmatrix} f(x)=\sin x & g'(x)=e^{x}\\ f'(x)=\cos x & g(x)=e^{x} \end{vmatrix}=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\ dx}\\ {\displaystyle \int e^{x}\cos x\ dx=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\ dx}\\ {\displaystyle \int e^{x}\cos x\ dx+\int e^{x}\cos x\ dx=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x}\\ {\displaystyle 2\int e^{x}\cos x\ dx=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x}\\ {\displaystyle \int e^{x}\cos x\ dx=\color{#F57C00}{\frac{1}{2}e^{x}\left (\cos x+\sin x \right )}$

Odpowiedź

${\displaystyle \int (x-1)e^{x} \cos x \ dx=\frac{1}{2}(x-1)e^{x}\left ( \sin x +\cos x \right )-\frac{1}{2}e^{x}\sin x+C}$

$4. \ \ \int x\textrm{ arctg }x\ dx$

Rozwiązanie

Zgodnie z intuicją chcemy zredukować funkcję podcałkową, zatem stosujemy twierdzenie o całkowaniu przez części w przedstawiony sposób.

$\int x\textrm{ arctg }x\ dx=\begin{vmatrix} f(x)=x & g'(x)=\textrm{ arctg }x\\ f'(x)=1 & g(x)=\textrm{?} \end{vmatrix}$
Okazuje się, że jako funkcję

$g'$ uzyskaliśmy funkcję, z której nie da się obliczyć całki.
W takich sytuacjach jesteśmy "zmuszeni" aby odwrotnie przypisać funkcje. W wyniku takiego zastosowania twierdzenia pozbywamy się funkcji

$\textrm{arctg }x$ i dochodzimy do rozwiązania.

${\displaystyle \int x\textrm{ arctg }x\ dx=\begin{vmatrix} f(x)=\textrm{ arctg }x & g'(x)=x\\ f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}} & g(x)=\frac{x^{2}}{2} \end{vmatrix}=\frac{x^{2}}{2}\textrm{ arctg }x-\frac{1}{2}\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\ dx}=$

$\frac{x^{2}}{2}\textrm{ arctg }x-\frac{1}{2}\int \frac{1+x^{2}-1}{1+x^{2}}\ dx}=\\ {\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\textrm{ arctg }x-\frac{1}{2}\int \left (\frac{1+x^{2}}{1+x^{2}}-\frac{1}{1+x^{2}} \right )\ dx}=\\ {\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\textrm{ arctg }x-\frac{1}{2}\int \frac{1+x^{2}}{1+x^{2}}\ dx-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{1+x^{2}}}=\\ {\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\textrm{ arctg }x-\frac{1}{2}\int \ dx+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{1+x^{2}}}=\\ {\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}\textrm{ arctg }x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\textrm{ arctg }x+C$

Odpowiedź

$\int x\textrm{ arctg }x\ dx= \frac{1}{2}x^{2}\textrm{ arctg }x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\textrm{ arctg }x+C$

Zadanie 8.2

Polecenie

Oblicz całki nieoznaczone stosując twierdzenie o całkowaniu przez części.

Całka 1

$\int \ln(1+x^{2})\ dx$

Odpowiedź

$\int \ln(1+x^{2})\ dx=x\ln(1+x^{2})-2x+2\textrm{ arctg }x+C$

Rozwiązanie

$\int \ln(1+x^{2})\ dx= \begin{vmatrix} f(x)=\ln (1+x^{2}) & g'(x)=1\\ f'(x)=\frac{1\cdot 2x}{1+x^{2}} & g(x)=x \end{vmatrix}=}\\ {\displaystyle =x\ln(1+x^{2})-2\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\ dx=x\ln(1+x^{2})-2\int \frac{1+x^{2}-1}{1+x^{2}}\ dx=}\\ {\displaystyle =x\ln(1+x^{2})-2\int 1\ dx-2\int \frac{-1}{1+x^{2}}\ dx=x\ln(1+x^{2})-2x+2\int \frac{dx}{1+x^{2}}\ dx=}\\ {\displaystyle =x\ln(1+x^{2})-2x+2\textrm{ arctg }x+C$

Całka 2

$\int e^{3x}\cos x\ dx$

Odpowiedź

$\int e^{3x}\cos x\ dx=\frac{e^{3x}}{10}\left (\sin x+3\cos x\right )+C$

Rozwiązanie

$\int e^{3x}\cos x\ dx=\begin{vmatrix} f(x)=e^{3x} & g'(x)=\cos x\\ f'(x)=3e^{3x} & g(x)=\sin x \end{vmatrix}=}\\ {\displaystyle =e^{3x}\sin x-3\int e^{3x}\sin x\ dx=\begin{vmatrix} f(x)=e^{3x} & g'(x)=\sin x\\ f'(x)=e^{3x} & g(x)=-\cos x \end{vmatrix}=}\\ {\displaystyle =e^{3x}\sin x-3\left ( -e^{3x}\cos x +3\int e^{3x}\cos x\ dx \right )= e^{3x}\sin x+3e^{3x}\cos x -9\int e^{3x}\cos x\ dx$

$\int e^{3x}\cos x\ dx=e^{3x}\sin x+3e^{3x}\cos x -9\int e^{3x}\cos x\ dx}\\ {\displaystyle \int e^{3x}\cos x\ dx+9\int e^{3x}\cos x\ dx=e^{3x}\sin x+3e^{3x}\cos x}\\ {\displaystyle 10\int e^{3x}\cos x\ dx=e^{3x}\sin x+3e^{3x}\cos x \ \ /:10}\\ {\displaystyle \int e^{3x}\cos x\ dx=\frac{e^{3x}}{10}\sin x+\frac{3e^{3x}}{10}\cos x+C$

Całka 3

$\int x^{2}e^{-4x}\ dx$

Odpowiedź

$\int x^{2}e^{-4x}\ dx=-\frac{1}{4}x^{2}e^{-4x}-\frac{1}{8}xe^{-4x}-\frac{1}{32}e^{-4x}+C$

Rozwiązanie

$\int x^{2}e^{-4x}\ dx=\begin{vmatrix} f(x)=x^{2} & g'(x)=e^{-4x}\\ f'(x)=2x & g(x)=-\frac{1}{4}e^{-4x} \end{vmatrix}=}\\ {\displaystyle =-\frac{1}{4}x^{2}e^{-4x}+\frac{2}{4}\int xe^{-4x}\ dx=-\frac{1}{4}x^{2}e^{-4x}+\frac{1}{2}\int xe^{-4x}\ dx=}\\ {\displaystyle =\begin{vmatrix} f(x)=x & g'(x)=e^{-4x}\\ f'(x)=1 & g(x)=-\frac{1}{4}e^{-4x} \end{vmatrix}=-\frac{1}{4}x^{2}e^{-4x}+\frac{1}{2}\left ( -\frac{1}{4}xe^{-4x}+\frac{1}{4}\int e^{-4x}\ dx \right )=}\\ {\displaystyle =-\frac{1}{4}x^{2}e^{-4x}-\frac{1}{8}xe^{-4x}+\frac{1}{8}\left ( -\frac{1}{4} \right )e^{-4x}+C=}\\ {\displaystyle =-\frac{1}{4}x^{2}e^{-4x}-\frac{1}{8}xe^{-4x}-\frac{1}{32}e^{-4x}+C$

Całka 4

$\int x^{2}\sin \frac{x}{2}\ dx$

Odpowiedź

$\int x^{2}\sin \frac{x}{2}\ dx=-2x^{2}\cos \frac{x}{2}+8x\sin \frac{x}{2}+16\cos \frac{x}{2}+C$

Rozwiązanie

$\int x^{2}\sin \frac{x}{2}\ dx=\begin{vmatrix} f(x)=x^{2} & g'(x)=\sin \frac{x}{2}\\ f'(x)=2x & g(x)=-2\cos \frac{x}{2} \end{vmatrix}=-2x^{2}\cos \frac{x}{2}-\int 2x \cdot \left ( -2\cos \frac{x}{2} \right )\ dx=}\\ {\displaystyle =-2x^{2}\cos \frac{x}{2}+4\int x\cos \frac{x}{2}\ dx=\begin{vmatrix} f(x)=x & g'(x)=\cos \frac{x}{2}\\ f'(x)=1 & g(x)=2\sin \frac{x}{2} \end{vmatrix}=}\\ {\displaystyle =-2x^{2}\cos \frac{x}{2}+4\left [2x\sin \frac{x}{2}-2\int \sin \frac{x}{2}\ dx \right ]= -2x^{2}\cos \frac{x}{2}+8x\sin \frac{x}{2}-8\int \sin \frac{x}{2}\ dx=}\\ {\displaystyle =-2x^{2}\cos \frac{x}{2}+8x\sin \frac{x}{2}-8(-2\cos \frac{x}{2})+C= -2x^{2}\cos \frac{x}{2}+8x\sin \frac{x}{2}+16\cos \frac{x}{2}+C$

Ćwiczenie interaktywne

Oblicz całki nieoznaczone i dobierz w pary całkę z odpowiednim wynikiem.

Uwaga

Przeciągnij właściwy wynik w odpowiednie pole, tworząc tożsamość. Aby sprawdzić poprawność odpowiedzi kliknij przycisk "Sprawdź". Jeśli chcesz zacząć od nowa kliknij przycisk "Wyczyść".

Zadanie 8.4

Polecenie

Wskazówki

Twierdzenie o całkowaniu przez części

Całki typu xklnnxx^{k}\ln^{n}x

Rozwiązanie

Odpowiedź

Całki typu xksinpx, xkcospxx^{k}\sin px, \ \ x^{k}\cos px

Rozwiązanie

Odpowiedź

Całki typu xkepxx^{k}e^{px}

Rozwiązanie

Odpowiedź

Całki różnego typu

Rozwiązanie

Odpowiedź

Rozwiązanie

Odpowiedź

Rozwiązanie

Odpowiedź

Polecenie

Całka 1

Odpowiedź

Rozwiązanie

Całka 2

Odpowiedź

Rozwiązanie

Całka 3

Odpowiedź

Rozwiązanie

Całka 4

Odpowiedź

Rozwiązanie

Ćwiczenie interaktywne

Całki typu $x^{k}\ln^{n}x$

Całki typu $x^{k}\sin px, \ \ x^{k}\cos px$

Całki typu $x^{k}e^{px}$