Zadanie 8.6
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 8. Całka nieoznaczona
  3. Zadanie 8.6

 Polecenie

Oblicz całki z funkcji wymiernych.

 Wskazówki

Definicja funkcji wymiernej właściwej

Funkcję wymierną \({\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}}\) nazywamy właściwą, gdy stopień wielomianu \(P\) jest mniejszy od stopnia wielomianu \(Q.\)
Uwaga
Każdą funkcję wymierną niewłaściwą możemy przedstawić jako sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej (przez podzielenie wielomianów - licznika przez mianownik).

Definicja ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju

Ułamki proste I rodzaju
Funkcję wymierną właściwą postaci \[\frac{A}{(x+a)^{n}},\] gdzie \(n\in \mathbb{N}\) oraz \( a, A \in \mathbb{R},\) nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju.
Ułamki proste II rodzaju
Funkcję wymierną właściwą postaci \[\frac{Px+Q}{(x^{2}+px+q)^{n}},\] gdzie \(n\in \mathbb{N}\) oraz \( p,q,P,Q \in \mathbb{R},\) przy czym \(\Delta =p^{2}-4q \lt 0,\) nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.

Twierdzenie (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)

Każda funkcja wymierna właściwa rzeczywista jest sumą ułamków prostych. Przedstawienie to jest jednoznaczne.
Funkcja wymierna właściwa \[\frac{P(x)}{a_{n}(x-x_{1})^{k_{1}}(x-x_{2})^{k_{2}}\cdots (x-x_{r})^{k_{r}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{l_{1}}(x^{2}+p_{2}x+q_{2})^{l_{2}}\cdots (x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{l_{s}}},\] jest sumą \(k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{r}\) ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz \(l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{s}\) ułamków prostych drugiego rodzaju, przy czym
  • czynnikowi \((x-x_{i})^{k_{i}}\) odpowiada suma \(k_{i}\) ułamków prostych pierwszego rodzaju postaci: \[\frac{A_{i_{1}}}{x-x_{i}}+\frac{A_{i_{2}}}{(x-x_{i})^{2}}+\cdots +\frac{A_{i_{k_{i}}}}{(x-x_{i})^{k_{i}}},\] gdzie \(A_{i_{1}}, A_{i_{2}}, \cdots, A_{i_{k_{i}}}\in \mathbb{R}\)  dla \(1\leqslant i\leqslant r,\)
  • czynnikowi \((x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{l_{j}}\) odpowiada suma \(l_{j}\) ułamków prostych drugiego rodzaju postaci: \[\frac{P_{j_{1}}x+Q_{j_{1}}}{x^{2}+p_{j}x+q_{j}}+\frac{P_{j_{2}}x+Q_{j_{2}}}{(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{2}}+\cdots+\frac{P_{j_{l_{j}}}x+Q_{j_{l_{j}}}}{(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{l_{j}}},\] gdzie \(P_{j_{1}},P_{j_{2}},\cdots, P_{j_{l_{j}}},Q_{j_{1}},Q_{j_{2}},\cdots, Q_{j_{l_{j}}} \in \mathbb{R}\) dla \( 1\leqslant j\leqslant s.\)
Przykład
Ułamek \({\displaystyle \frac{x+3}{x^{4}(x-2)(x+1)^{2}}}\) ma rozkład:
\[\frac{x+3}{x^{4}(x-2)(x+1)^{2}}=\frac{A_{1}}{x}+\frac{A_{2}}{x^{2}}+\frac{A_{3}}{x^{3}}+\frac{A_{4}}{x^{4}}+\frac{A_{5}}{x-2}+\frac{A_{6}}{x+1}+\frac{A_{7}}{(x+1)^{2}}.\]

Całkowanie ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju

Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju
Do obliczania całek z ułamków prostych pierwszego rodzaju stosujemy wzory:

  1. \({\displaystyle \int \frac{A\ dx}{x+a}=A\ln\left | x+a \right |+C},\)
  2. \({\displaystyle \int \frac{A\ dx}{(x+a)^{n}}=-\frac{A}{(n-1)(x+a)^{n-1}}+C},\) gdzie \(n\geqslant 2.\)
Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju
Do obliczania całek z ułamków prostych drugiego rodzaju stosujemy wzór:
\[\int \frac{(Px+Q)dx}{(x^{2}+px+q)^{n}}=\frac{P}{2}\int \frac{(2x+p)dx}{(x^{2}+px+q)^{n}}+\left ( Q-\frac{Pp}{2} \right )\int \frac{dx}{(x^{2}+px+q)^{n}}.\]
Pierwszą z tych całek obliczamy za pomocą podstawienia \(t=x^{2}+px+q\), a drugą po sprowadzeniu trójmianu do postaci kanonicznej \[x^{2}+px+q=\left ( x+\frac{p}{2} \right )^{2}+\left ( q-\frac{p^{2}}{4} \right )\]
i podstawieniu \({\displaystyle t=x+\frac{p}{2}},\) za pomocą wzoru rekurencyjnego
\[\int \frac{dx}{(a^{2}+x^{2})^{n}}=\frac{x}{2(n-1)a^{2}(a^{2}+x^{2})^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-1)a^{2}}\int \frac{dx}{(a^{2}+x^{2})^{n-1}},\] gdzie  \(a\gt 0\) oraz \( n\geqslant 2.\)
Drugą całkę możemy również po sprowadzeniu do postaci kanonicznej
\[x^{2}+px+q=\left ( x+\frac{p}{2} \right )^{2}+\left ( q-\frac{p^{2}}{4} \right )\] rozwiązać przez podstawienie: \[\left ( x+\frac{p}{2} \right )^{2}+\underbrace{\color{#F57C00}{\left ( q-\frac{p^{2}}{4} \right )}}_{s}=\underbrace{\color{#F57C00}{\left ( q-\frac{p^{2}}{4} \right )}}_{s}t^{2}+\underbrace{\color{#F57C00}{\left ( q-\frac{p^{2}}{4} \right )}}_{s}.\] Dochodzimy wówczas szybciej do wzoru \({\displaystyle \int \frac{dx}{1+x^{2}}=\textrm{ arctg }x+C}.\) W razie potrzeby znów korzystamy z wzoru rekurencyjnego.

Algorytm całkowania funkcji wymiernych

  1. Funkcję wymierną zapisujemy w postaci sumy wielomianu (może być zerowy) i funkcji wymiernej właściwej. Zwykle po prostu dzielimy pisemnie wielomiany lub w wyniku przekształcenia wielomianu z liczniku funkcji.
  2. Mianownik funkcji wymiernej właściwej rozkładamy na czynniki liniowe i kwadratowe nierozkładalne.
  3. Zapisujemy rozkład funkcji wymiernej właściwej na ułamki proste pierwszego i drugiego rodzaju (w postaci wzoru).
  4. Znajdujemy nieznane współczynniki tego rozkładu. Najczęściej podstawiamy miejsca zerowe, aby w "sprytny sposób" wyznaczyć wartości współczynników pozbywając się większości składników. Możemy również tworzyć układy równań i rozwiązywać je, lecz jest to metoda pracochłonna.
  5. Obliczamy całki poszczególnych składników rozkładu funkcji wymiernej, tj. wielomianu i ułamków prostych:
  • dla ułamków pierwszego rodzaju wykorzystujemy wzór  \({\displaystyle \int \frac{A\ dx}{x+a}=A\ln\left | x+a \right |+C}\)  lub  \({\displaystyle \int \frac{A\ dx}{(x+a)^{n}}=-\frac{A}{(n-1)(x+a)^{n-1}}+C},\) gdzie \(n\geqslant 2.\)  z wskazówki "Całkowanie ułamków prostych",
  • dla ułamków drugiego rodzaju wykorzystujemy  \({\displaystyle \int \frac{(Px+Q)dx}{(x^{2}+px+q)^{n}}=\frac{P}{2}\int \frac{(2x+p)dx}{(x^{2}+px+q)^{n}}+\left ( Q-\frac{Pp}{2} \right )\int \frac{dx}{(0x^{2}+px+q)^{n}}}\)  oraz w razie potrzeby również  \({\displaystyle \int \frac{dx}{(a^{2}+x^{2})^{n}}=\frac{x}{2(n-1)a^{2}(a^{2}+x^{2})^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-1)a^{2}}\int \frac{dx}{(a^{2}+x^{2})^{n-1}}},\) gdzie \(a\gt 0\) oraz \( n\geqslant 2\)  (lub przez odpowiednie podstawienie).

 Całka 1

\({\displaystyle \int \frac{5}{(x-2)^{6}}\ dx}\)

 Rozwiązanie

Ponieważ funkcja podcałkowa ma postać ułamka prostego pierwszego rodzaju, więc możemy zastosować wzór  \({\displaystyle \int \frac{A\ dx}{(x+a)^{n}}=-\frac{A}{(n-1)(x+a)^{n-1}}+C},\) gdzie \(n\geqslant 2\) .
\({\displaystyle \int \frac{5}{(x-2)^{6}}\ dx= -\frac{5}{(6-1)(x-2)^{6-1}}+C=-\frac{5}{5(x-2)^{5}}+C=-\frac{1}{(x-2)^{5}}+C}\)
Możemy również obliczyć całkę bez korzystania ze wzoru, stosując metodę podstawiania.
\({\displaystyle \int \frac{5}{(x-2)^{6}}\ dx=5\int \frac{dx}{(x-2)^{6}}=\begin{vmatrix}
x-2=t\\
dx=dt
\end{vmatrix}=5\int \frac{1}{t^{6}}\ dt=5\int t^{-6}\ dt=5\frac{t^{-6+1}}{-6+1}+C=-\frac{1}{t^{5}}+C=-\frac{1}{(x-2)^{5}}+C}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{5}{(x-2)^{6}}\ dx=-\frac{1}{(x-2)^{5}}+C}\)

 Całka 2

\({\displaystyle \int \frac{x^{4}-1}{x^{2}+2}\ dx}\)

 Rozwiązanie

Ponieważ stopień wielomianu z licznika jest większy od stopnia wielomianu znajdującego się w mianowniku funkcji podcałkowej, zatem dzielimy wielomiany.
\[ \begin{array}{lll}
(x^4 - 1)  : (x^2+2)  = x^2 - 2\\
\underline{-x^4 - 2x^2} & \\
\qquad -2x^2 -1  & \\
\qquad \ \ \underline{2x^2 + 4} & &\\
\qquad \quad = \quad 3 & &
\end{array} \]
Wyjściową całkę możemy więc zapisać następująco:
\({\displaystyle \int \frac{x^{4}-1}{x^{2}+2}\ dx=\int \left ( x^{2}-2+\frac{3}{x^{2}+2} \right )\ dx=\int x^{2}\ dx-2\int dx+3 }\)  \({\displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+2}=\int \frac{dx}{2\left (\frac{x^{2}}{2}+1 \right )}=\int \frac{dx}{2\left (\left (\frac{x}{\sqrt{2}} \right )^{2}+1 \right )}=\begin{vmatrix} \frac{x}{\sqrt{2}}=t\\ \frac{dx}{\sqrt{2}}=dt\\ dx=\sqrt{2}\ dt \end{vmatrix}=\int \frac{\sqrt{2}dt}{2(t^{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}}{2}\int \frac{dt}{t^{2}+1}=\frac{\sqrt{2}}{2} \textrm{ arctg }t+C=\frac{\sqrt{2}}{2} \textrm{ arctg }\frac{x}{\sqrt{2}}+C}\) 
\(={\displaystyle \int x^{2}\ dx-2\int dx+3\int \frac{dx}{x^{2}+2}=\frac{x^{3}}{3}-2x+\frac{3\sqrt{2}}{2} \textrm{ arctg }\frac{x}{\sqrt{2}}+C}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{x^{4}-1}{x^{2}+2}\ dx=\frac{x^{3}}{3}-2x+\frac{3\sqrt{2}}{2} \textrm{ arctg }\frac{x}{\sqrt{2}}+C}\)

 Całka 3

\({\displaystyle \int \frac{x+6}{2x^{2}-3x+3}\ dx}\)

 Rozwiązanie

Do obliczania całek z ułamków prostych drugiego rodzaju stosujemy wzór:
\[\int \frac{(Px+Q)dx}{(x^{2}+px+q)^{n}}=\frac{P}{2}\int \frac{(2x+p)dx}{(x^{2}+px+q)^{n}}+\left ( Q-\frac{Pp}{2} \right )\int \frac{dx}{(x^{2}+px+q)^{n}}.\]
Możemy również nie stosując wzoru metodą "dopisywania" i uzupełniania rozpisać funkcję podcałkową, aby w liczniku naszej funkcji uzyskać pochodną mianownika plus pewne wyrażenie (najczęściej stała).
Zatem dopisujemy przed całką stałą \({\displaystyle \frac{1}{4}}\) aby pomnożyć licznik przez \(4,\) po czym liczbę \(24\) zapisujemy w postaci \(-3+27\) aby uzyskać pochodną mianownika ułamka. Dzielimy całkę na sumę dwóch całek, z której pierwszą rozwiążemy za pomocą  \({\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)}\ dx=\ln\left | f(x) \right |+C}\)  lub za pomocą podstawienia.
\({\displaystyle \int \frac{x+6}{2x^{2}-3x+3}\ dx=\frac{1}{4}\int \frac{4x+24}{2x^{2}-3x+3}\ dx=\frac{1}{4}\int \frac{\color{#388E3C}{4x-3}+27}{2x^{2}-3x+3}\ dx=}\)
\({\displaystyle \frac{1}{4}\int \frac{4x-3}{2x^{2}-3x+3}\ dx+\frac{27}{4}}\) \(=\)
\({\displaystyle \color{#F57C00}{\int \frac{dx}{2x^{2}-3x+3}=\begin{vmatrix}
2x^{2}-3x+3=2(x-\frac{3}{4})^{2}+\frac{15}{8}\\
2(x-\frac{3}{4})^{2}+\frac{15}{8}=\frac{15}{8}t^{2}+\frac{15}{8}\\
2(x-\frac{3}{4})^{2}+\cancel{\frac{15}{8}}=\frac{15}{8}t^{2}+\cancel{\frac{15}{8}}\\
2(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{15}{8}t^{2} \ \ /:2\\
(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{15}{16}t^{2}\\
x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{15}}{4}t\\
dx=\frac{\sqrt{15}}{4} dt
\end{vmatrix}=\int \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}dt}{2\cdot\frac{15}{16}t^{2}+\frac{15}{8}}=\frac{\sqrt{15}}{4}\int \frac{dt}{\frac{15}{8}(t^{2}+1)}=\frac{\sqrt{15}}{8}\cdot \frac{8}{15}\int \frac{dt}{t^{2}+1}=\frac{2\sqrt{15}}{15}\textrm{ arctg }t+C_{1}=\frac{2\sqrt{15}}{15}\textrm{ arctg }\frac{4x-3}{\sqrt{15}}+C_{1}}}\)
\({\displaystyle = \frac{1}{4}\ln \left | 2x^{2}-3x+3 \right |+\frac{27}{4}\cdot \frac{2\sqrt{15}}{15}\textrm{ arctg }\frac{4x-3}{\sqrt{15}}+C= \frac{1}{4}\ln \left | 2x^{2}-3x+3 \right |+\frac{9\sqrt{15}}{10}\textrm{ arctg }\frac{4x-3}{\sqrt{15}}+C}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{x+6}{2x^{2}-3x+3}\ dx=\frac{1}{4}\ln \left | 2x^{2}-3x+3 \right |+\frac{9\sqrt{15}}{10}\textrm{ arctg }\frac{4x-3}{\sqrt{15}}+C}\)

 Całka 4

\({\displaystyle \int \frac{2x+1}{x^{3}-8}\ dx}\)

 Rozwiązanie

1 Ponieważ stopień wielomianu w liczniku nie jest większy bądź równy stopniowi wielomianu z mianownika, zatem nie dzielimy wielomianów \({\displaystyle \int \frac{2x+1}{x^{3}-8}\ dx=}\)
2 Wielomian występujący w mianowniku funkcji podcałkowej rozkładamy na czynniki. Jak widać funkcji kwadratowej nie da się już rozłożyć na czynniki, gdyż \(\Delta \lt 0.\) \({\displaystyle =\int \frac{2x+1}{(x-2)\underbrace{(x^{2}+2x+4)}_{\Delta \lt 0}}\ dx=(\bigstar)}\)
3 Rozkładamy zatem naszą funkcję wymierną na ułamki proste i rozwiązujemy równanie. \({\displaystyle \frac{2x+1}{(x-2)(x^{2}+2x+4)}= \frac{A}{x-2}+ \frac{Bx+D}{x^{2}+2x+4}}\\ {\displaystyle 2x+1=A(x^{2}+2x+4)+(Bx+D)(x-2)}\)
4 Tworzymy układ równań podstawiając miejsce zerowe i porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach wielomianów. \(\begin{cases} 5=A\cdot 12 & \textrm{ z miejsca zerowego } x=2\\ 2=2A-2B+D & \textrm{ z porównania współczynników przy } x \\ 1=4A-2D & \textrm{ z porównania wyrazów wolnych } \end{cases}\)
5 Rozwiązujemy układ równań z trzema niewiadomymi. \({\displaystyle A=\frac{5}{12}}\)
\({\displaystyle 1=4\cdot \frac{5}{12} -2D}\\{\displaystyle 1=\frac{20}{12} -2D}\\{\displaystyle 2D=\frac{20}{12}-\frac{12}{12}}\\{\displaystyle 2D=\frac{8}{12}}\\{\displaystyle D=\frac{8}{2 \cdot 12}}\\{\displaystyle D=\frac{1}{3}}\)
\({\displaystyle 2=2\cdot \frac{5}{12}-2B+\frac{1}{3}}\\{\displaystyle 2-\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=-2B}\\{\displaystyle 2B=-\frac{5}{6}}\\{\displaystyle B=-\frac{5}{12}}\)
6 Otrzymujemy współczynniki rozkładu na ułamki proste. \(\begin{cases}{\displaystyle A=\frac{5}{12}}\\{\displaystyle D=\frac{1}{3}}\\{\displaystyle B=-\frac{5}{12}}\end{cases}\)
7 Rozkładamy całkę na sumę całek i stosujemy wzór \({\displaystyle \int \frac{A\ dx}{x+a}=A\ln\left | x+a \right |+C}.\) W drugiej całce wykonujemy takie działania, aby otrzymać w liczniku pochodną mianownika plus jakaś stała. (Wyłączamy przed całkę \(-\displaystyle\frac{5}{12},\) mnożymy licznik i mianownik przez \(2\) i zapisujemy \(-\displaystyle\frac{24}{15}\) jako różnicę \(2-\displaystyle\frac{18}{5}.\)) \({\displaystyle (\bigstar) = \int \frac{\frac{5}{12}}{x-2}\ dx+ \int \frac{-\frac{5}{12}x+\frac{1}{3}}{x^{2}+2x+4}\ dx=}\\ {\displaystyle \frac{5}{12}\int \frac{dx}{x-2}- \frac{5}{12}\int \frac{x-\frac{12}{5\cdot 3}}{x^{2}+2x+4}\ dx=}\\ {\displaystyle \frac{5}{12}\int \frac{dx}{x-2}- \frac{5}{24}\int \frac{2x-\frac{24}{15}}{x^{2}+2x+4}\ dx=}\\ {\displaystyle \frac{5}{12}\ln\left | x-2 \right |-\frac{5}{24}\left [ \int \frac{2x+2-\frac{18}{5}}{x^{2}+2x+4} \right ]\ dx=}\)
8 Drugą całkę zapisujemy w postaci sumy całek. Do pierwszej z nich stosujemy wzór \({\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)}\ dx = \ln \left | f(x) \right |+C},\) omijając wartość bezwzględną, gdyż \(x^{2}+2x+4 \gt 0,\) dla każdego rzeczywistego \(x,\) drugą liczymy w kolejnym etapie. \({\displaystyle \frac{5}{12}\ln\left | x-2 \right |-\frac{5}{24}\left [ \int \frac{2x+2}{x^{2}+2x+4}\ dx-\frac{18}{5} \int \frac{dx}{x^{2}+2x+4}\right ]=}\\{\displaystyle \frac{5}{12}\ln\left | x-2 \right |-\frac{5}{24}\int \frac{2x+2}{x^{2}+2x+4}\ dx+\frac{3}{4}\int \frac{dx}{x^{2}+2x+4}=}\\{\displaystyle \frac{5}{12}\ln\left | x-2 \right |-\frac{5}{24}\ln \left (x^{2}+2x+4  \right )+\frac{3}{4}\color{#F57C00}{\int \frac{dx}{x^{2}+2x+4}}=(\blacksquare )}\)
9 Osobno wyznaczamy całkę \({\displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+2x+4}}\) stosując odpowiednie podstawienie . \({\displaystyle \color{#F57C00}{\int \frac{dx}{x^{2}+2x+4}=\int \frac{dx}{(x+1)^{2}+3}=\begin{vmatrix} (x+1)^{2}+3=3t^{2}+3\\ x+1=\sqrt{3}t \ \Rightarrow t=\frac{x+1}{\sqrt{3}}\\ dx=\sqrt{3}dt \end{vmatrix}=}}\\ {\displaystyle \color{#F57C00}{ \int \frac{\sqrt{3}dt}{(\sqrt{3}t)^{2}+3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\int \frac{dt}{t^{2}+1}=\frac{\sqrt{3}}{3}\textrm{ arctg }t+C_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}\textrm{ arctg }\frac{x+1}{\sqrt{3}}+C_{1}}}\)
10 Wracamy do całki \((\blacksquare ),\) podstawiając wcześniej uzyskany wynik. \({\displaystyle (\blacksquare ) =\frac{5}{12}\ln\left | x-2 \right |-\frac{5}{24}\ln \left (x^{2}+2x+4 \right )+\frac{3}{4}\cdot \color{#F57C00}{\frac{\sqrt{3}}{3}\textrm{ arctg }\frac{x+1}{\sqrt{3}}}+C =}\) \({\displaystyle =\frac{5}{12}\ln\left | x-2 \right |-\frac{5}{24}\ln \left (x^{2}+2x+4 \right )+\frac{\sqrt{3}}{4}\textrm{ arctg }\frac{x+1}{\sqrt{3}}+C}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{2x+1}{x^{3}-8}\ dx=\frac{5}{12}\ln\left | x-2 \right |-\frac{5}{24}\ln \left (x^{2}+2x+4 \right )+\frac{\sqrt{3}}{4}\textrm{ arctg }\frac{x+1}{\sqrt{3}}+C}\)

 Całka 5

\({\displaystyle \int \frac{7}{(9+x^{2})^{3}}\ dx}\)

 Rozwiązanie

Do rozwiązania tej całki konieczne będzie przypomnienie sobie wzoru rekurencyjnego  \[\displaystyle \int \frac{dx}{(a^{2}+x^{2})^{n}}=\frac{x}{2(n-1)a^{2}(a^{2}+x^{2})^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-1)a^{2}}\int \frac{dx}{(a^{2}+x^{2})^{n-1}}.\]
Korzystamy z niego dwukrotnie dla oznaczonych \(n\) i \(a\) oraz korzystamy z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie (zadanie 8.5).
\({\displaystyle \int \frac{7}{(9+x^{2})^{3}}\ dx=7\int \frac{dx}{(9+x^{2})^{3}} \stackrel{a=3\\ n=3}=7\left [ \frac{x}{2\cdot (3-1)\cdot 3^{2}(9+x^{2})^{3-1} }+\frac{2\cdot 3-3}{2(3-1)\cdot 3^{2}}\int \frac{dx}{(9+x^{2})^{3-1}} \right ]=}\\
{\displaystyle \frac{7x}{36(9+x^{2})^{2} }+\frac{21}{36}\int \frac{dx}{(9+x^{2})^{2}} \stackrel{a=3\\ n=2}=\frac{7x}{36(9+x^{2})^{2} }+\frac{21}{36}\left [ \frac{x}{2(2-1)\cdot 3^{2}(9+x^{2})}+\frac{2\cdot 2-3}{2(2-1)\cdot 3^{2}}\int \frac{dx}{9+x^{2}} \right ]=}\\
{\displaystyle \frac{7x}{36(9+x^{2})^{2} }+ \frac{7x}{12\cdot 2\cdot 9(9+x^{2})}+\frac{7}{36\cdot 6\cdot 9}\int \frac{dx}{1+(\frac{x}{3})^{2}}=\begin{vmatrix}
\frac{x}{3}=t\\
\frac{dx}{3}=dt\\
dx=3dt
\end{vmatrix} = }\\
{\displaystyle \frac{7x}{36(9+x^{2})^{2} }+ \frac{7x}{216(9+x^{2})}+\frac{7}{36\cdot 54}\int \frac{3dt}{1+t^{2}}= \frac{7x}{36(9+x^{2})^{2} }+ \frac{7x}{216(9+x^{2})}+\frac{7}{648}\int \frac{dt}{1+t^{2}}=\cdots}\)

Korzystamy ze wzoru \({\displaystyle \int \frac{dx}{1+x^{2}}=\textrm{ arctg }x+C}\) oraz wracamy do podstawienia za \(t,\) zatem dostaniemy:
\({\cdots =\displaystyle \frac{7x}{36(9+x^{2})^{2} }+ \frac{7x}{216(9+x^{2})}+\frac{7}{648}\textrm{ arctg }\frac{x}{3}+C}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{7}{(9+x^{2})^{3}}\ dx= \frac{7x}{36(9+x^{2})^{2} }+ \frac{7x}{216(9+x^{2})}+\frac{7}{648}\textrm{ arctg }\frac{x}{3}+C}\)

 Polecenie

Oblicz całki z funkcji wymiernych.

 Całka 1

\({\displaystyle \int \frac{dx}{(1-4x)^{2}}}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{dx}{(1-4x)^{2}}=\frac{1}{4(1-4x)}+C}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int \frac{dx}{(1-4x)^{2}}=\begin{vmatrix}
1-4x=t\\
-4dx=dt\\
dx=-\frac{1}{4}dt
\end{vmatrix}=-\frac{1}{4}\int \frac{dt}{t^{2}}=-\frac{1}{4}\int t^{-2}\ dt=-\frac{1}{4}\frac{t^{-2+1}}{-2+1}+C=-\frac{1}{4}\cdot \frac{t^{-1}}{-1}+C=\frac{1}{4t}+C=\frac{1}{4(1-4x)}+C}\)

 Całka 2

\({\displaystyle \int \frac{x-6}{x^{2}+4x+5}\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{x-6}{x^{2}+4x+5}\ dx=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+4x+5)-8\textrm{arctg }(x+2)+C}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int \frac{x-6}{x^{2}+4x+5}\ dx= \frac{1}{2}\int \frac{2x+4-16}{x^{2}+4x+5}\ dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x+4}{x^{2}+4x+5}\ dx-\frac{16}{2}\int \frac{dx}{x^{2}+4x+5}=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+4x+5)-8\int \frac{dx}{x^{2}+4x+5} \begin{vmatrix}
p=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2\\
q=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{16-20}{4}=1
\end{vmatrix}=}\\
{\displaystyle \frac{1}{2}\ln(x^{2}+4x+5)-8\int \frac{dx}{(x+2)^{2}+1}=\begin{vmatrix}
x+2=t\\
dx=dt
\end{vmatrix}= \frac{1}{2}\ln(x^{2}+4x+5)-8\int \frac{dt}{t^{2}+1}=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+4x+5)-8\textrm{arctg }t+C=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+4x+5)-8\textrm{arctg }(x+2)+C}\)

 Całka 3

\({\displaystyle \int \frac{3x-1}{x^{2}(x-1)(x^{2}+3)}\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{3x-1}{x^{2}(x-1)(x^{2}+3)}\ dx=-\frac{2}{3}\ln\left | x \right |-\frac{1}{3x}+\frac{1}{2}\ln \left |x-1  \right |+\frac{1}{12}\ln (x^{2}+3)-\frac{5\sqrt{3}}{18}\textrm{ arctg }\frac{x}{\sqrt{3}}+C}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int \frac{3x-1}{x^{2}(x-1)(x^{2}+3)}\ dx=(\bigstar )}\)
Rozkład na ułamki proste:
\({\displaystyle \frac{3x-1}{x^{2}(x-1)(x^{2}+3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{D}{x-1}+\frac{Ex+F}{x^{2}+3}}\\
{\displaystyle 3x-1=x^{2}(x-1)(x^{2}+3)=Ax(x-1)(x^{2}+3)+B(x-1)(x^{2}+3)+Dx^{2}(x^{2}+3)+(Ex+F)x^{2}(x-1)}\)
Dla \(x=0:\)
\( -1=B(-1)\cdot 3\\
{\displaystyle B=\frac{1}{3}}.\)
Dla \(x=1:\)
\(2=D\cdot 1^{2}(1^{2}+3)\\
2=4D\\
{\displaystyle D=\frac{1}{2}}.\)
Odczytujemy współczynniki przy \(x^{4}:\)
\(0=A+D+E,\)
przy \(x^{3}:\)
\(0=-A+B-E+F\)
oraz przy \(x:\)
\(3=-3A+3B.\)
Tworzymy układ równań i rozwiązujemy go:
\(\begin{cases}
A+D+E=0\\
-A+B-E+F=0\\
3=-3A+3B\\
{\displaystyle B=\frac{1}{3}}\\
{\displaystyle D=\frac{1}{2}}
\end{cases}\\
-A+B=1\\
{\displaystyle -A=1-\frac{1}{3}}\\
{\displaystyle A=-\frac{2}{3}}\\
{\displaystyle -\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+E=0}\\
{\displaystyle E=\frac{4}{6}-\frac{3}{6}}\\
{\displaystyle E=\frac{1}{6}}\\
{\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+F=0}\\
{\displaystyle \frac{5}{6}+F=0}\\
{\displaystyle F=-\frac{5}{6}}\\
\begin{cases}
{\displaystyle A=-\frac{2}{3}}\\
{\displaystyle B=\frac{1}{3}}\\
{\displaystyle D=\frac{1}{2}}\\
{\displaystyle E=\frac{1}{6}}\\
{\displaystyle F=-\frac{5}{6}}
\end{cases}.\)
Wracamy do całki podstawiając wyznaczone niewiadome.
\({\displaystyle(\bigstar )=\int \frac{-\frac{2}{3}}{x}\ dx+\int \frac{\frac{1}{3}}{x^{2}}\ dx+\int \frac{\frac{1}{2}}{x-1}\ dx+\int \frac{\frac{1}{6}x-\frac{5}{6}}{x^{2}+3}\ dx=-\frac{2}{3}\int \frac{dx}{x}+\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x^{2}}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1}+\frac{1}{6}\int \frac{x-5}{x^{2}+3}\ dx=-\frac{2}{3}\int \frac{dx}{x}+\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x^{2}}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}\int \frac{2x-10}{x^{2}+3}\ dx=-\frac{2}{3}\int \frac{dx}{x}+\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x^{2}}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1}+\frac{1}{12}\int \frac{2x}{x^{2}+3}\ dx-\frac{10}{12}\int \frac{dx}{x^{2}+3}=-\frac{2}{3}\int \frac{dx}{x}+\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x^{2}}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1}+\frac{1}{12}\int \frac{2x}{x^{2}+3}\ dx-\frac{5}{6\cdot 3}\int \frac{dx}{\left (\frac{x}{\sqrt{3}}  \right )^{2}+1}=-\frac{2}{3}\ln\left | x \right |-\frac{1}{3x}+\frac{1}{2}\ln \left |x-1  \right |+\frac{1}{12}\ln (x^{2}+3)-\frac{5}{18}\int \frac{dx}{\left (\frac{x}{\sqrt{3}}  \right )^{2}+1}=\begin{vmatrix}
\frac{x}{\sqrt{3}}=t\\
\frac{dx}{\sqrt{3}}=dt\\
dx=\sqrt{3}dt
\end{vmatrix}=-\frac{2}{3}\ln\left | x \right |-\frac{1}{3x}+\frac{1}{2}\ln \left |x-1  \right |+\frac{1}{12}\ln (x^{2}+3)-\frac{5\sqrt{3}}{18}\int \frac{dt}{t^{2}+1}=-\frac{2}{3}\ln\left | x \right |-\frac{1}{3x}+\frac{1}{2}\ln \left |x-1  \right |+\frac{1}{12}\ln (x^{2}+3)-\frac{5\sqrt{3}}{18}\textrm{ arctg }t+C=-\frac{2}{3}\ln\left | x \right |-\frac{1}{3x}+\frac{1}{2}\ln \left |x-1  \right |+\frac{1}{12}\ln (x^{2}+3)-\frac{5\sqrt{3}}{18}\textrm{ arctg }\frac{x}{\sqrt{3}}+C}.\)

 Polecenie

Rozwiąż zadania 1-5 używając poznanych metod całkowania funkcji wymiernych.
Uwaga
W zadaniach 1-5 poprawna jest dokładnie jedna odpowiedź. Wybierz ją i sprawdź klikając przycisk "Sprawdź" lub na końcu "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Zadanie 1

Poprawny rozkład ułamka \[{\displaystyle \frac{2x+4}{x^{2}(x^{3}-1)}}\] na ułamki proste to:

Zadanie 2

Po rozwiązaniu całki \({\displaystyle \int \frac{dx}{(x-1)(x-2)}}\) otrzymamy:

Zadanie 3

Całkę \({\displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}-2x+6}}\) rozwiążemy przez sprowadzenie do postaci kanonicznej \({\displaystyle \int \frac{dx}{(x-1)^{2}+5}}\) oraz podstawienie \((x-1)^{2}+5=5t^{2}+5, \ \ dx=\sqrt{5}\ dt.\) Otrzymamy wówczas:

Zadanie 4

Licząc całkę \({\displaystyle \int \frac{dx}{\left [ 1+\left ( \frac{x}{2} \right )^{2} \right ]^{2}}}\) otrzymamy:

Zadanie 5

Licząc całkę \({\displaystyle \int \frac{x^{3}+4x-2}{x+1}\ dx}\) wystarczy:

Podsumowanie